Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC): Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes - Exemple 1 | Mathéma-TIC

Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes - Exemple 1

Trouver le domaine de $\sqrt{-x^2+4x-3} = 4$ .

Il faut trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles l'intérieur de la racine carrée est positif ou nul. Ainsi, il faut résoudre l'inéquation :

$\begin{array}{ll} -x^2+4x-3 \geq 0 & \Rightarrow -\left({x^2-4x+3}\right) \geq 0 \\ {} & \Rightarrow -\left({x-1}\right)\left({x-3}\right) \geq 0 \\ {} & \Rightarrow \left({1-x}\right)\left({x-3}\right) \geq 0 \end{array}$

Les zéros des facteurs $\left({1-x}\right)$ et $\left({x-3}\right)$ sont $x = 1$ et $x = 3$ .

$\left]{-\infty,1}\right[$ $1$ $\left]{1,3}\right[$ $3$ $\left]{3,\infty}\right[$

$1-x$ $0$

$x-3$ $0$

$\left({1-x}\right)\left({x-3}\right)$
Trouvons le signe de chaque facteur selon l'intervalle :
- Facteur $1-x$ :
  
  $1-x$ est $(+)$ si $1-x>0 \Rightarrow x$
  $1-x$ est $(-)$ si $1-x1$
- Facteur $x-3$ :
  
  $x-3$ est $(+)$ si $x-3>0 \Rightarrow x>3$
  $x-3$ est $(-)$ si $x-3$
$\left]{-\infty,1}\right[$ $1$ $\left]{1,3}\right[$ $3$ $\left]{3,\infty}\right[$

$1-x$ $+$ $0$ $-$ $-$ $-$

$x-3$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$

$\left({1-x}\right)\left({x-3}\right)$
Nous pouvons remplir la dernière ligne en effectuant le produit des facteurs. Nous écrivons $\pmb{+}$ , $\pmb{-}$ ou $\mathbf{0}$ en respectant la règle des signes.

$\left]{-\infty,1}\right[$ $1$ $\left]{1,3}\right[$ $3$ $\left]{3,\infty}\right[$

$1-x$ $+$ $0$ $-$ $-$ $-$

$x-3$ $-$ $-$ $-$ $0$ $+$

$\left({1-x}\right)\left({x-3}\right)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

En interprétant le tableau de signes, on a que le domaine de l'équation

$\sqrt{-x^2+4x-3} = 4$ est

$\boxed{\left[1,3\right]}$ .

Modifié le: mardi 26 janvier 2016, 14:37