1. Définitions

  • Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs variables. Elle peut être vraie ou fausse.

  • Le domaine d’une équation est l’ensemble des valeurs que peut prendre sa ou ses variables. Il faut tenir compte des restrictions applicables aux nombres réels.

    \sqrt{x-2} = 2{x^5} - 4x + 7 ; le domaine est x \in \left[ {2, +\infty } \right[

    \dfrac{x^2 - \sqrt{1 - x}}{x} = 1 ; le domaine est x \in \left] {-\infty, 0} \right[ \cup \left] {0, 1} \right] ou bien x \in \left] {-\infty, 1} \right] \setminus \{ 0\}

  • Pour trouver les solutions d’une équation, c'est-à-dire résoudre une équation, on doit trouver les valeurs du domaine qui rendent l'égalité vraie.
  • Deux équations sont dites équivalentes si elles ont le même ensemble solution.

    \dfrac{{x^2} - 1}{x + 1} = 0 ; le domaine est \mathbb{R} \setminus \lbrace -1\rbrace et la solution est x = 1.

    x - 1 = 0 ; le domaine est \mathbb{R} et la solution est x = 1.

    Les deux équations sont donc équivalentes sur \mathbb{R} \setminus \lbrace - 1 \rbrace, car elles ont la même solution.

  • Une identité est une équation qui est vraie pour chacune des valeurs de son domaine.

    \dfrac{2{x^3} + x}{x} = 2{x^2} + 1 ; le domaine est \mathbb{R} \setminus \left\{ {0} \right\}

    Si on simplifie l'expression de gauche, on obtient l'équation 2{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 sur le domaine \mathbb{R} \setminus \left\{ {0} \right\}. Il s'agit donc d'une identité qui a comme ensemble solution \mathbb{R} \setminus \left\{ {0} \right\}.