1.4 Les équations

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Livre:	1.4 Les équations

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Date:	samedi 18 mai 2024, 20:37

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Définitions
Principes pour résoudre des équations
Équations contenant des fractions rationnelles
Équations contenant des racines carrées
Équations contenant des valeurs absolues

Table des matières

1. Définitions
2. Principes pour résoudre des équations
3. Équations contenant des fractions rationnelles
4. Équations contenant des racines carrées
5. Équations contenant des valeurs absolues

1. Définitions

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs variables. Elle peut être vraie ou fausse.
Le domaine d’une équation est l’ensemble des valeurs que peut prendre sa ou ses variables. Il faut tenir compte des restrictions applicables aux nombres réels.

$\sqrt{x-2} = 2{x^5} - 4x + 7$ ; le domaine est $x \in \left[ {2, +\infty } \right[$

$\dfrac{x^2 - \sqrt{1 - x}}{x} = 1$ ; le domaine est $x \in \left] {-\infty, 0} \right[ \cup \left] {0, 1} \right]$ ou bien $x \in \left] {-\infty, 1} \right] \setminus \{ 0\}$
Pour trouver les solutions d’une équation, c'est-à-dire résoudre une équation, on doit trouver les valeurs du domaine qui rendent l'égalité vraie.
Deux équations sont dites équivalentes si elles ont le même ensemble solution.

$\dfrac{{x^2} - 1}{x + 1} = 0$ ; le domaine est $\mathbb{R} \setminus \lbrace -1\rbrace$ et la solution est $x = 1$ .

$x - 1 = 0$ ; le domaine est $\mathbb{R}$ et la solution est $x = 1$ .

Les deux équations sont donc équivalentes sur $\mathbb{R} \setminus \lbrace - 1 \rbrace$ , car elles ont la même solution.
Une identité est une équation qui est vraie pour chacune des valeurs de son domaine.

$\dfrac{2{x^3} + x}{x} = 2{x^2} + 1$ ; le domaine est $\mathbb{R} \setminus \left\{ {0} \right\}$

Si on simplifie l'expression de gauche, on obtient l'équation $2{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1$ sur le domaine $\mathbb{R} \setminus \left\{ {0} \right\}$ . Il s'agit donc d'une identité qui a comme ensemble solution $\mathbb{R} \setminus \left\{ {0} \right\}$ .

2. Principes pour résoudre des équations

Utiliser les opérations élémentaires $(+ - \times \text{ et } \div)$ pour transformer l'équation initiale de façon à obtenir une ou plusieurs équations équivalentes de la forme $x=c$ où $c$ est une constante.
Ne jamais multiplier ou diviser une équation par 0.
Toujours vérifier la solution dans l’équation initiale.
Si une équation peut être transformée en une équation quadratique de la forme $a{x^2} + bx + c = 0$ , il suffit de trouver les zéros du polynôme $a{x^2} + bx + c$ à l'aide d'une des deux méthodes suivantes :
1. En factorisant (si possible) et en utilisant la règle du produit nul. Cette règle dit que le produit de deux ou plusieurs facteurs est égal à 0 si et seulement si l'un de ces facteurs est égal à 0 $\left( {p \times q = 0 \Leftrightarrow p = 0 \text{ ou }q = 0 } \right)$ .
2. En utilisant la formule quadratique $\dfrac{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a} \text{ où } a \ne 0$ .

Exemple : Résoudre l'équation $3(1-x)=\dfrac{x}{2}-5$ .

Le domaine est $\mathbb{R}$ .

Résolution :

$\begin{array}{rll} \Rightarrow 3-3x &= \dfrac{x}{2}-5 & \scriptsize{\text{on distribue le 3 dans la parenthèse}}\\\Rightarrow 3+5&=\dfrac{x}{2}+3x & \scriptsize{\text{on regroupe du même côté les termes contenant }x}\\ \Rightarrow 8 &=\dfrac{x+6x}{2}& \\ \Rightarrow 16&= 7x &\\ \Rightarrow x&=\boxed{\dfrac{16}{7}}&\scriptsize{\text{c'est la solution de l'équation sous la forme }x=c} \end{array}$

Vérification : Remplaçons $x = \frac{16}{7}$ dans l'équation initiale.

$\begin{array}{rl}3\left(1-\dfrac{16}{7}\right) &\stackrel{?}{=} \dfrac{16/7}{2}-5 \\ \Rightarrow \dfrac{-27}{7} &= \dfrac{-54}{14}=\dfrac{-27}{7}\end{array}$

Exemples : Résoudre les équations suivantes.

3. Équations contenant des fractions rationnelles

Lorsqu'une équation contient des fractions rationnelles, il faut d'abord bien déterminer le domaine.

Après avoir résolu l'équation, on doit vérifier si les solutions trouvées font partie du domaine.

Exemple : Résoudre l'équation $\dfrac{4x+1}{x+2} = 3+\dfrac{1}{x}$ .

Le domaine est $\mathbb{R} \setminus \lbrace -2,0 \rbrace$ .

Résolution :

$\begin{array}{rll}\Rightarrow\dfrac{4x+1}{x+2}&=\dfrac{3x+1}{x}&\\\Rightarrow\dfrac{4x+1}{x+2}\cdot\pmb{x(x+2)}&=\dfrac{3x+1}{x}\cdot\pmb{x(x+2)}&\small{\text{; si }x\neq 0\text{ on peut multiplier par }x}\\&&\small{\text{ et si } x \neq -2 \text{ on peut multiplier par } x+2}\\ \Rightarrow (4x+1)\cdot x &= (3x+1)(x+2)&\\ \Rightarrow 4x^2+x &=3x^2+7x+2 &\\ \Rightarrow 4x^2-3x^2+x-7x-2&= 0 & \small\text{; on transforme en une équation quadratique}\\ \Rightarrow x^2-6x-2 &= 0 & \end{array}$

On peut peut utiliser la formule quadratique $\frac{-b \pm \sqrt{{b^2}-4ac}}{2a}$ pour résoudre $x^2-6x-2=0$ .

$x = \dfrac{6 + \sqrt{36-4(-2)}}{2} = \dfrac{6+\sqrt{44}}{2} = \dfrac{6+\sqrt{4}\sqrt{11}}{2}=\boxed{3+\sqrt{11}}$

et $x = \dfrac{6 - \sqrt{44}}{2} =\boxed{3 - \sqrt{11}}$

Ces deux valeurs appartiennent au domaine et vérifient l'équation initiale.

L'ensemble solution est donc $\lbrace 3 \pm \sqrt{11} \rbrace$ .

Exemples : Résoudre les équations suivantes.

$\dfrac{x}{x+2} + \dfrac{4}{x+6} = 1$

$\dfrac{{x^2} - 4}{x-2} = 3x-2$

Exercices formatifs WeBWorK

Résoudre des équations linéaires, quadratiques et rationnelles

4. Équations contenant des racines carrées

Pour résoudre une équation contenant des racines carrées, on peut appliquer les principes suivants :

Isoler un des termes comportant une racine carrée.
Élever au carré les deux membres de chaque côté de l'égalité.
Résoudre l'équation.

Mais attention, l'équation résultante n'est pas toujours équivalente à celle de départ. En effet, en élevant au carré les deux membres de l'équation, on peut créer des solutions fausses $\Big(-3\ne 3$ , mais $(-3)^2=3^2\Big)$ .

Il faut donc toujours vérifier chacune des solutions possibles dans l'équation initiale afin d'éliminer les solutions fausses.

Par exemple :

On veut résoudre $\sqrt{2x+1} = \sqrt{x-3}$

En élevant chaque membre au carré, on obtient :

$\begin{array}{rl}(\sqrt{2x+1})^2&=(\sqrt{x-3})^2\\\Rightarrow 2x+1&= x-3\\\Rightarrow 2x-x&=-3-1\\\Rightarrow x&=-4\end{array}$

Or, en remplaçant $x=-4$ dans l'équation initiale, on obtient des racines carrées d'un nombre négatif, ce qui n'est pas défini. En effet,

$\sqrt{2(-4)+1} = \sqrt{-7}$ et $\sqrt{-4-3}=\sqrt{-7}$

Ainsi, $x=-4$ n'est pas une solution et par conséquent cette équation n'a pas de solution réelle.

Exemples : Résoudre les équations suivantes.

Exercices formatifs WeBWorK

Résoudre des équations contenant des racines carrées

5. Équations contenant des valeurs absolues

La valeur absolue d'un nombre $x$ donne toujours un résultat positif. Par exemple, $\vert 14 \vert = 14$ et $\vert -6 \vert = 6$ . Par définition, la fonction $\vert x \vert$ laisse positif tout nombre $x$ qui est déjà positif et rend positif tout nombre $x$ qui est négatif. On peut aussi la définir de la façon suivante :

$\lvert x\rvert=\left\lbrace\begin{array}{rll} x & \text{si} & x \geq 0 \\ -x & \text{si} & x < 0 \end{array}\right.$

Cette façon de définir la valeur absolue est équivalente. En effet, dans les deux cas on obtient $\vert -6 \vert = 6$ et $-(-6) = 6$ comme le montre le graphique Geogebra suivant. Déplacez le point vertsur la droite des réels et remarquez la définition de la valeur absolue selon que le nombre $x$ est positif ou négatif.

Pour résoudre une équation contenant des valeurs absolues, on doit considérer deux cas possibles : si l'expression à l'intérieur est positive et si elle est négative.

La résolution des formes d'équations suivantes respecte ce principe.

Résolution d'une équation de la forme $\pmb{\lvert{f(x)}\rvert = c}$ où $\pmb{c}$ est une constante positive,

$\lvert{f(x)}\rvert = c \Leftrightarrow f(x) = c \text{ ou } f(x) = -c$

Résolution d'une équation de la forme $\pmb{\lvert{f(x)}\rvert = g(x)}$

$\lvert{f(x)}\rvert = g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) \text{ ou } f(x) = -g(x)$
On vérifie les solutions dans l'équation initiale et on rejette celles qui ne vérifient pas l'équation.

Comme le membre de droite n'est pas une constante mais contient une variable $x$ , la valeur du membre de droite peut donc devenir négative, ce qui est interdit. Par conséquent, il est essentiel de vérifier si les solutions transforment l'équation en une égalité vraie.

Exemples : Résoudre les équations suivantes.

a) $\vert 3x + 6 \vert = 3$

Selon la définition de la valeur absolue, résoudre cette équation revient à résoudre les deux équations suivantes :

$\begin{array}{rllcrll}3x+6&=3 &\small\text{; si }3x+6\ge 0&\quad\text{ et }\quad&3x+6&=-3&\small\text{; si }3x+6$

Les deux solutions de cette équation sont $\boxed{x=-1}$ et $\boxed{x=-3}$ . On peut même le vérifier en remplaçant ces deux valeurs dans l'équation de départ.

Si $x=-1,$ on a $\vert 3(-1)+6\vert = \vert 3\vert = 3$ et si $x=-3,$ on a $\vert 3(-3)+6\vert = \vert -3 \vert = 3$ .

b) $\lvert{x+3}\rvert = 2x$

Étant donné que $\vert x+3\vert$ est toujours positif, il faut aussi que $2x$ soit toujours positif. Ainsi, on a comme restriction : $x\ge 0$ . On peut maintenant résoudre les deux équations suivantes :