Résolution d'équation contenant une racine carrée - Exemple 1

Résoudre l'équation $\sqrt{x} + 3 = x - 9$.

Résolution :

$\begin{array}{ll} \Rightarrow \sqrt{x} = x - 12 & \small\text{; on isole la racine}\\[0.8em] \Rightarrow {\Bigl({\sqrt{x}}\Bigr)}^2 = {\left({x-12}\right)}^2 & \small\text{; on élève les deux membres au carré} \\[0.8em] \Rightarrow x = {x^2} - 24x + 144 & {} \\[0.5em] \Rightarrow 0 = {x^2}-25x+144 & \small\text{; on résout l'équation quadratique} \\[0.5em] \Rightarrow 0 = \left({x-16}\right)\left({x-9}\right) & \small\text{; on factorise} \\[0.5em] \Rightarrow x = 16 \text{ et } x = 9 & {} \end{array}$

Vérification : Il faut maintenant vérifier si ces valeurs sont des solutions possibles pour l'équation initiale.

Si $x=16$, $\sqrt{16} + 3 \stackrel{?}{=} 16 - 9 \Leftrightarrow 7 = 7$. L'égalité est vraie, donc $x=16$ est une solution.

Si $x=9$, $\sqrt{9} + 3 \stackrel{?}{=} 9 - 9 \Leftrightarrow 6 = 0$. L'égalité est fausse, donc $x=9$ n'est pas une solution.

Ainsi, $x=16$ est la seule solution de l'équation.