Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes - Exemple 2

1. Les zéros des facteurs $\left({x+1}\right)$, $\left({x-5}\right)$ et $\left({x-4}\right)$ sont $x = -1$, $x=5$ et $x = 4$.
   
   

   	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,4}\right[$	$4$	$\left]{4,5}\right[$	$5$	$\left]{5,\infty}\right[$
   $x+1$		$0$
   $x-4$				$0$
   $x-5$						$0$
   $\dfrac{\left({x+1}\right)\left({x-5}\right)}{x-4}$

   
   
   
2. Trouvons le signe de chaque facteur selon l'intervalle :
   
   • Facteur $x+1$ :
     

     $x+1$ est $(+)$ si $x>-1$
     $x+1$ est $(-)$ si $x$

   • Facteur $x-4$ :
     

     $x-4$ est $(+)$ si $x>4$
     $x-4$ est $(-)$ si $x$

   • Facteur $x-5$ :
     

     $x-5$ est $(+)$ si $x>5$
     $x-5$ est $(-)$ si $x$

   	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,4}\right[$	$4$	$\left]{4,5}\right[$	$5$	$\left]{5,\infty}\right[$
   $x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $x-4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x-5$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $\dfrac{\left({x+1}\right)\left({x-5}\right)}{x-4}$

   
   
   
3. Nous pouvons remplir la dernière ligne en effectuant le produit et quotient des facteurs. Nous écrirons $+$, $-$, $0$ ou $\nexists$ en respectant la règle des signes.
   
   

   	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,4}\right[$	$4$	$\left]{4,5}\right[$	$5$	$\left]{5,\infty}\right[$
   $x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $x-4$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x-5$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
   $\dfrac{\left({x+1}\right)\left({x-5}\right)}{x-4}$	$-$	$0$	$+$	$\nexists$	$-$	$0$	$+$

On a que $\dfrac{\left({x+1}\right)\left({x-5}\right)}{x-4} < 0$ pour les valeurs de $x$ pour lesquelles on a inscrit le signe $-$ seulement.

Ainsi, l'ensemble-solution de $\dfrac{2x-13}{x-4}+x < 2$ est $\boxed{\left]{-\infty,-1}\right[ \cup \left]{4,5}\right[}$.