Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

Résoudre l'équation $\lvert{x^2 + 2x}\rvert = 1$.

Résolution :

Il faut résoudre les deux équations suivantes :

$\begin{array}{ccc} x^2+2x = \pmb{1} &\quad\text{ et }\quad& x^2+2x = \pmb{-1} \\ \Rightarrow x^2+2x-1 = 0 & {\qquad} & \Rightarrow x^2+2x+1 = 0 \\ \Rightarrow x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \text{; car } x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} & \qquad & \Rightarrow \left({x+1}\right)^2 = 0 \\ \Rightarrow x = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} & \qquad & \Rightarrow x = -1 \end{array}$

Ainsi, les solutions de l'équation sont : $x= \lbrace -1-\sqrt{2}, \; -1, \; -1 + \sqrt{2}\rbrace$.

Vérification : Nous pouvons vérifier ces solutions dans l'équation initiale pour en être convaincu.

$\bullet \text{ Si } x = -1+\sqrt{2} \text{, alors } \Bigl\vert{\left({-1+\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left({-1+\sqrt{2}}\right)}\Bigr\vert \stackrel{?}{=} 1$
$\Leftrightarrow \Bigl\vert{1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}}\Bigr\vert \stackrel{?}{=} 1$
$\Leftrightarrow \lvert{1}\rvert = 1$. C'est une égalité vraie.

$\bullet$ Si $x = -1-\sqrt{2}$, alors $\Bigl\vert{\left({-1-\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left({-1-\sqrt{2}}\right)}\Bigr\vert \stackrel{?}{=} 1$
$\Leftrightarrow \Bigl\vert{1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}}\Bigr\vert \stackrel{?}{=} 1 \Leftrightarrow \lvert{1}\rvert = 1$. C'est une égalité vraie.

$\bullet$ Si $x = -1$, alors $\lvert{\left({-1}\right)^2 + 2\left({-1}\right)}\rvert \stackrel{?}{=} 1 \Leftrightarrow \lvert{-1}\rvert = 1$. C'est une égalité vraie.