Fractions complexes - Exemple

Simplifions la fraction complexe suivante : $\dfrac{1}{1-\dfrac{1+x}{x-\dfrac{1}{x}}}$.

Nous avons remplacé le trait de fraction par le symbole $\div$ afin de l'exprimer à l'horizontale. Nous remarquons ainsi que l'ordre de priorité des opérations nous oblige à commencer par la soustraction $\left(x-\frac{1}{x}\right)$. Le reste des opérations s'effectue en respectant cet ordre.

Le domaine de l'expression : $\mathbb{R}\setminus\lbrace -1,0,1\rbrace$.

$\begin{array}{lll}\dfrac{1}{1-\dfrac{1+x}{x-\dfrac{1}{x}}}&=\dfrac{1}{1-\dfrac{1+x}{\left(\dfrac{x^2-1}{x}\right)}}&\\&=\dfrac{1}{1-(1+x)\left(\dfrac{x}{x^2-1}\right)}&\small\text{; multiplier par l'inverse du dénominateur}\\&=\dfrac{1}{1-\dfrac{x(1+x)}{x^2-1}}&\\&=\dfrac{1}{1-\dfrac{x\cancel{(1+x)}}{\cancel{(x+1)}(x-1)}}&\small\text{; factoriser le dénominateur}\\&=\dfrac{1}{1-\dfrac{x}{x-1}}&\small\text{; simplifier les }(x+1)\\&=\dfrac{1}{\dfrac{(x-1)-x}{x-1}}&\\&=\dfrac{1}{\left(\dfrac{-1}{x-1}\right)}&\\[1em]&=\dfrac{x-1}{-1}&\small\text{; multiplier par l'inverse du dénominateur}\\[1em]&=-x+1&\end{array}$