Simplification de fractions rationnelles - Exemple 2

Simplifions la fraction $\dfrac{{x^3}-2{x^2}+x-2}{3{x^4}+6{x^2}+3}$.

Factorisons le numérateur et le dénominateur.

$\begin{array}{ll}\dfrac{{x^3}-2{x^2}+x-2}{3{x^4}+6{x^2}+3}&=\dfrac{x^2(x-2)+(x-2)}{3((x^2)^2+2x^2+1)}\\[0.8em]&=\dfrac{(x-2)(x^2+1)}{3(x^2+1)^2}\end{array}$

Son domaine est l'ensemble des $\mathbb{R}$ car le facteur au dénominateur $(x^2+1)\ne 0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

Pour simplifier, divisons le numérateur et le dénominateur par le facteur commun $(x^2+1)$.

$\dfrac{(x-2)\cancel{(x^2+1)}}{3\cancel{(x^2+1)}^2}=\dfrac{(x-2)}{3(x^2+1)}$