Soustraction de fractions rationnelles - Exemple

Effectuons la soustraction suivante : $\dfrac{x+2}{{x^2}-4} - \dfrac{x-3}{{x^2}-x-2}$.

On factorise tout d'abord les deux dénominateurs.

$\dfrac{x+2}{{x^2}-4} - \dfrac{x-3}{{x^2}-x-2}=\dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{x-3}{(x-2)(x+1)}$

Le dénominateur commun est : $(x-2)(x+2)(x+1)$. Il faut alors ramener les deux fractions sur ce dénominateur commun avant d'effectuer la soustraction.

$\begin{array}{ll}\dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{x-3}{(x-2)(x+1)}&=\dfrac{(x+2)\pmb{(x+1)}}{(x-2)(x+2)\pmb{(x+1)}}-\dfrac{(x-3)\pmb{(x+2)}}{(x-2)\pmb{(x+2)}(x+1)}\\&=\dfrac{(x^2+3x+2)-(x^2-x-6)}{(x-2)(x+2)(x+1)}\end{array}$

Il faut faire attention aux signes en soustrayant les numérateurs.

$\begin{array}{ll}\dfrac{(x^2+3x+2)-(x^2-x-6)}{(x-2)(x+2)(x+1)}&=\dfrac{x^2+3x+2-x^2+x+6}{(x-2)(x+2)(x+1)}\\&=\dfrac{4x+8}{(x-2)(x+2)(x+1)}\\&=\dfrac{4\cancel{(x+2)}}{(x-2)\cancel{(x+2)}(x+1)}\\&=\dfrac{4}{(x-2)(x+1)}\end{array}$

On a factorisé le numérateur et on a pu simplifier la fraction par le facteur commun $(x+2)$, car le domaine de cette expression est : $\mathbb{R}\setminus\lbrace -2,-1,2\rbrace$.