Simplification de fractions rationnelles - Exemple 1

Simplifions la fraction $\dfrac{8 {\left( {2x+3} \right)}^3 {\left( {x-5} \right)}^2 - 2 {\left( {2x+3} \right)}^4 \left( {x-5} \right)}{ { \left( {x-5} \right)}^4}$.

Son domaine est : $\mathbb{R}\setminus\lbrace 5\rbrace$.

Résolution :

On va effectuer une mise en évidence des facteurs communs au numérateur : $2$, $(2x+3)^3$ et $(x-5)$.

$\dfrac{8 {\left( {2x+3} \right)}^3 {\left( {x-5} \right)}^2 - 2 {\left( {2x+3} \right)}^4 \left( {x-5} \right)}{ { \left( {x-5} \right)}^4} = \dfrac{2(2x+3)^3 (x-5)\Big(4(x-5)-(2x+3)\Big)}{(x-5)^4}$

Pour simplifier, divisons le numérateur et le dénominateur par le facteur commun $(x-5)$, car comme la valeur $x=5$ n'appartient pas au domaine, on est assuré que $x-5\ne 0$.

$\begin{array}{ll}\dfrac{8(2x+3)^3(x-5)^2 - 2(2x+3)^4(x-5)}{(x-5)^4}&=\dfrac{2(2x+3)^3 (x-5)[4(x-5)-(2x+3)]}{(x-5)^4}\\&=\dfrac{2(2x+3)^3\cancel{(x-5)}(2x-23)}{\cancel{(x-5)}^4}\\&=\dfrac{2(2x+3)^3(2x-23)}{(x-5)^3}\end{array}$

Dans le cours Calcul différentiel, cet exemple présente un type de fraction et une simplification que l'on rencontre souvent.