Suivant

1. Principes pour résoudre une inéquation

Résoudre une inéquation consiste à trouver l'ensemble des valeurs par lesquelles on peut remplacer la variable pour obtenir une inégalité vraie. Par exemple :

La solution x=1 est une des solutions de l'inégalité {2x + 1 < 5}, car en la remplaçant dans cette dernière on obtient 2\times 1 + 1 < 5 qui est une inégalité vraie.

Par contre x=2 n'est pas une solution, car 2\times 2 + 1 = 5 et 5< 5 est une inégalité fausse.

On voit que les solutions de cette inéquation sont toutes les valeurs telles que x < 2.

Afin de résoudre une inéquation, il faut la transformer en une ou plusieurs inéquations équivalentes de la forme :

x< c, \quad x>c, \quad x \leq c \; \text{ ou } \; x \geq c


Pour y arriver, on peut bien sûr utiliser les opérations élémentaires +,\;-,\;\times et \div. Par contre, pour chacune des opérations il faut respecter certaines propriétés.

  • Addition et soustraction : Soit c \in \mathbb{R}

a < b est équivalente à a \pm c < b \pm c.

  • Multiplication et division : Soit c > 0,    (un nombre réel positif)

    a < b est équivalente à ac < bc.
    a < b est équivalente à \dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}.

  • Multiplication et division : Soit c < 0,    (un nombre réel négatif)

    a < b est équivalente à ac > bc.
    a < b est équivalente à \dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c} (il faut inverser le sens de l'inégalité).

*Toutes ces propriétés sont aussi valides avec les symboles >, \leq ou \geq.



Exemples :

a) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation \dfrac{2-3x}{3} - \dfrac{1+x}{4} \leq 8

\begin{array}{rcll} \dfrac{4\left({2-3x}\right) - 3\left({1+x}\right)}{12} & \leq & 8 & \small\text{; dénominateur commun} \\[1em]\dfrac{5-15x}{12} & \leq & 8 & {} \\[1em]5 - 15x & \leq & \pmb{12} \times 8 & \small\text{; on a multiplié par }12 \text{ chaque membre sans changer le sens de l'inégalité} \\[0.8em]-15x & \leq & 96 - \pmb{5} & \small\text{; on a soustrait }5 \text{ à chaque membre sans changer le sens de l'inégalité} \\[0.8em]x & \geq & \dfrac{91}{\pmb{-15}} & \small\text{; on a divisé par }-15 \text{ chaque membre }\textbf{en changeant le sens de l'inégalité} \end{array}


L'ensemble solution de cette inéquation est décrit par \Big\{{x \in \mathbb{R} \Big| x \geq \frac{-91}{15}}\Big\} ou par l'intervalle x \in \left[{-\frac{91}{15}, +\infty}\right[.

b) Trouvons le domaine de l'équation \sqrt{5-8x} + \sqrt{3x+9} = 10

On cherche l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles chacune des expressions existe dans \mathbb{R}.
Puisque la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie, il faut que

\begin{array}{rclcrcl} 5-8x & \geq & 0 &\quad\text{ et }\quad& 3x+9 & \geq & 0 \\[0.8em]-8x & \geq & -5 & {} & 3x & \geq & -9 \\[0.8em]x & \mathbf{\leq} & \dfrac{5}{8} & {} & x & \geq & -3 \end{array}

Le domaine est donc l'ensemble des valeurs pour lesquelles x \geq -3 et x \leq \frac{5}{8}, ce qui correspond à l'intervalle \left[{-3, \frac{5}{8}}\right].

Exercices formatifs WeBWorK

logo WeBWorK Résoudre des inéquations
Suivant