1.5 Les inéquations

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Livre:	1.5 Les inéquations

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Date:	samedi 18 mai 2024, 09:17

Description

Principes pour résoudre une inéquation
Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes
Résoudre une inéquation contenant des valeurs absolues

Table des matières

1. Principes pour résoudre une inéquation
2. Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes
3. Résoudre une inéquation contenant des valeurs absolues

1. Principes pour résoudre une inéquation

Résoudre une inéquation consiste à trouver l'ensemble des valeurs par lesquelles on peut remplacer la variable pour obtenir une inégalité vraie. Par exemple :

La solution

$x=1$ est une des solutions de l'inégalité

${2x + 1 < 5}$ , car en la remplaçant dans cette dernière on obtient

$2\times 1 + 1 < 5$ qui est une inégalité vraie.

Par contre

$x=2$ n'est pas une solution, car

$2\times 2 + 1 = 5$ et

$5< 5$ est une inégalité fausse.

On voit que les solutions de cette inéquation sont toutes les valeurs telles que

$x < 2$ .

Afin de résoudre une inéquation, il faut la transformer en une ou plusieurs inéquations équivalentes de la forme :

$x< c, \quad x>c, \quad x \leq c \; \text{ ou } \; x \geq c$

Pour y arriver, on peut bien sûr utiliser les opérations élémentaires $+,\;-,\;\times$ et $\div$ . Par contre, pour chacune des opérations il faut respecter certaines propriétés.

Addition et soustraction : Soit $c \in \mathbb{R}$

$a < b$ est équivalente à $a \pm c < b \pm c$ .

Multiplication et division : Soit $c > 0$ , (un nombre réel positif)

$a < b$ est équivalente à $ac < bc$ .
$a < b$ est équivalente à $\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ .
Multiplication et division : Soit $c < 0$ , (un nombre réel négatif)

$a < b$ est équivalente à $ac > bc$ .
$a < b$ est équivalente à $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ (il faut inverser le sens de l'inégalité).

*Toutes ces propriétés sont aussi valides avec les symboles $>$ , $\leq$ ou $\geq$ .

Exemples :

a) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\dfrac{2-3x}{3} - \dfrac{1+x}{4} \leq 8$

$\begin{array}{rcll} \dfrac{4\left({2-3x}\right) - 3\left({1+x}\right)}{12} & \leq & 8 & \small\text{; dénominateur commun} \\[1em]\dfrac{5-15x}{12} & \leq & 8 & {} \\[1em]5 - 15x & \leq & \pmb{12} \times 8 & \small\text{; on a multiplié par }12 \text{ chaque membre sans changer le sens de l'inégalité} \\[0.8em]-15x & \leq & 96 - \pmb{5} & \small\text{; on a soustrait }5 \text{ à chaque membre sans changer le sens de l'inégalité} \\[0.8em]x & \geq & \dfrac{91}{\pmb{-15}} & \small\text{; on a divisé par }-15 \text{ chaque membre }\textbf{en changeant le sens de l'inégalité} \end{array}$

L'ensemble solution de cette inéquation est décrit par

$\Big\{{x \in \mathbb{R} \Big| x \geq \frac{-91}{15}}\Big\}$ ou par l'intervalle

$x \in \left[{-\frac{91}{15}, +\infty}\right[$ .

b) Trouvons le domaine de l'équation $\sqrt{5-8x} + \sqrt{3x+9} = 10$

On cherche l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles chacune des expressions existe dans $\mathbb{R}$ .
Puisque la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie, il faut que

$\begin{array}{rclcrcl} 5-8x & \geq & 0 &\quad\text{ et }\quad& 3x+9 & \geq & 0 \\[0.8em]-8x & \geq & -5 & {} & 3x & \geq & -9 \\[0.8em]x & \mathbf{\leq} & \dfrac{5}{8} & {} & x & \geq & -3 \end{array}$

Le domaine est donc l'ensemble des valeurs pour lesquelles $x \geq -3$ et $x \leq \frac{5}{8}$ , ce qui correspond à l'intervalle $\left[{-3, \frac{5}{8}}\right]$ .

Exercices formatifs WeBWorK

Résoudre des inéquations

2. Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes

Soit une inéquation qui peut être exprimée sous la forme suivante :

$P < 0$ ou $P > 0$

$\dfrac{P}{Q} < 0$ ou $\dfrac{P}{Q} > 0$

où $P$ et $Q$ sont des polynômes factorisables, c'est-à-dire que l'on peut exprimer comme un produit ou un quotient de plusieurs facteurs. Comme le signe de l'expression dépend du signe de chacun des facteurs, il est utile de résoudre l'inéquation à l'aide d'un tableau de signes pour s'assurer d'inclure tous les cas possibles.

Il suffit de suivre la règle des signes pour la multiplication et la division. Comme que le nombre $0$ sépare les nombres négatifs des nombres positifs, il faudra trouver les zéros de chacun des facteurs afin de construire le tableau de signes.

Exemple : Résoudre l'inéquation

$\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)} \geq 0$ .

Le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ .

On trouve les zéros des trois facteurs $x$ , $\left({x+1}\right)$ et $\left({2-x}\right)$ , soit $x=0$ , $x=-1$ et $x=2$ :

Si $x=0$ et $x=-1$ , on a que $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)} = 0$
Si $x=2$ , on a que $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$ n'existe pas $(\nexists)$

On construit le tableau de signes en suivant ces étapes :
1. La première ligne représente le domaine de l'expression.
2. On insère une colonne pour chacun des zéros des facteurs en les plaçant dans l'ordre croissant.
3. On insère ensuite une colonne pour représenter les intervalles contenant les nombres réels avant, entre et après les zéros.
4. On construit une ligne pour chacun des facteurs.
5. La dernière ligne est attribuée à l'expression globale.
$\left]{-\infty,-1}\right[$ $-1$ $\left]{-1,0}\right[$ $0$ $\left]{0,2}\right[$ $2$ $\left]{2,\infty}\right[$

$x$

$x+1$

$2-x$

$\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$
Pour chacune des lignes des facteurs, on inscrit le nombre $0$ dans la colonne correspondante à son zéro.

$\left]{-\infty,-1}\right[$ $-1$ $\left]{-1,0}\right[$ $0$ $\left]{0,2}\right[$ $2$ $\left]{2,\infty}\right[$

$x$ $0$

$x+1$ $0$

$2-x$ $0$

$\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$

On détermine le signe de chaque facteur en résolvant les inéquations appropriées. On reporte ensuite les résultats sur la ligne réservée de chaque facteur en y inscrivant le symbole

$+$ ou

$-$ dans les cases correspondant aux intervalles lorsque le facteur prend une valeur positive ou négative.

Facteur $x$ :
$x$ est positif $(+)$ si $\pmb{x>0}$
$x$ est négatif $(-)$ si $\pmb{x$
Facteur $x+1$ :
$x+1$ est positif $(+)$ si $x + 1>0 \Rightarrow \pmb{x > -1}$
$x+1$ est négatif $(-)$ si $x + 1$
Facteur $2-x$ :
$2-x$ est positif $(+)$ si $2-x>0 \Rightarrow \pmb{x$
$2-x$ est négatif $(-)$ si $2-x2}$

	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,0}\right[$	$0$	$\left]{0,2}\right[$	$2$	$\left]{2,\infty}\right[$
$x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$2-x$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$

On remplit la dernière ligne du tableau en

$y$ indiquant pour chaque intervalle :

le nombre $0$ si le produit et quotient des facteurs est nul;
le symbole $\nexists$ si la valeur de $x$ n'appartient pas au domaine;
le signe du produit et quotient des facteurs en respectant la règle des signes.

	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,0}\right[$	$0$	$\left]{0,2}\right[$	$2$	$\left]{2,\infty}\right[$
$x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$2-x$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
$\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$\nexists$	$-$

On peut maintenant interpréter le tableau de signes afin de résoudre l'inéquation de départ. On a que $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)} \geq 0$ pour les valeurs de $x$ pour lesquelles on a inscrit le signe $+$ ou le nombre $0$ .

Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation est $\boxed{\left]{-\infty,-1}\right] \cup \left[{0,2}\right[}$ .

Autres exemples :

: Trouver le domaine de $\sqrt{-x^2+4x-3} = 4$ .
: Résoudre l'inéquation $\dfrac{2x-13}{x-4}+x < 2$ .

Exercices formatifs WeBWorK

Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes

3. Résoudre une inéquation contenant des valeurs absolues

Nous pouvons séparer en deux cas les inéquations contenant une valeur absolue pour bien comprendre comment les résoudre.

Si $\lvert{x}\rvert < c$ (ou $\lvert f(x)\rvert < c$ )
Les valeurs de $x$ qui vérifient cette inéquation appartiennent à l'intervalle $\left[{-c, c}\right]$ . Il faut donc que $-c < x < c$ , c'est-à-dire que $x$ soit à la fois supérieur à $-c$ et inférieur à $c$ .

Notre démarche consiste donc à chercher des solutions communes aux deux inéquations :

$-c < x$ et $x < c$ .
Si $\lvert{x}\rvert > c$ (ou $\lvert{f(x)}\rvert > c$ )
Les valeurs de $x$ qui vérifient cette inéquation appartiennent aux intervalles $\left]{-\infty,-c}\right]$ ou $\left[{c, +\infty}\right[$ , c'est-à-dire que $x$ peut être inférieur à $-c$ ou bien supérieur à $c$ .

Notre démarche consiste donc à faire l'union des ensembles solutions de ces deux inéquations :

$x < -c$ ou $c < x$ .

Exemples :

a) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\vert 2x-7\vert < 3$ .

Il faut trouver les valeurs de $x$ telles que l'expression à l'intérieur de la valeur absolue est à la fois inférieure à $3$ et supérieure à $-3$ , c'est-à-dire $-3 < 2x-7 < 3$ .

Il faut résoudre les deux inéquations suivantes et à faire l'intersection des deux ensembles solutions.

$\begin{array}{rllrl}2x-7&-3\\2x&4\\x&2\end{array}$

Aidons nous du graphique Geogebra ci-dessous pour comprendre la solution de cette inéquation. En déplaçant le point vert sur la droite, on peut voir le résultat de la valeur absolue $\vert 2x-7\vert$ pour certaines valeurs de $x$ . L'ensemble solution contient toutes les valeurs de $x$ qui sont à la fois inférieures à $5$ et supérieures à $2$ , c'est-à-dire les valeurs de $x$ qui appartiennent à l'intervalle $\left]2,5\right[,$ comme le montre la trace en bleue sur l'axe des $x$ .

De plus, on remarque que pour $x=\frac{7}{2},$ l'intérieur de la valeur absolue est nul, car $2\left(\frac{7}{2}\right)-7=0$ . Ainsi, lorsque $x$ l'intérieur de la valeur absolue devient négatif, soit $2x-7 < 0,$ et lorsque $x>\frac{7}{2}$ , l'intérieur devient positif, soit $2x-7>0$ . Cela correspond bien à la définition de la valeur absolue :

$\vert{2x-7}\vert=\begin{cases}2x-7&\text{si }x\ge\frac{7}{2}\\-(2x-7)&\text{si }x$

b) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x-7}\rvert > 3$ .

Il faut trouver les valeurs de $x$ qui appartiennent à l'un ou l'autre des ensembles solutions des deux inéquations :

$\begin{array}{rlcrl} 2x-7& < -3 & \text{ou} & 3 & < 2x-7\\ 2x & < 4 & \text{ou} &10 & < 2x \\ x & < 2 & \text{ou} & 5 & < x \end{array}$

Il faut faire l'union de ces deux ensembles que l'on a représentés sur l'axe réel suivant :

Les valeurs de $x$ peuvent donc appartenir à l'intervalle $\left]-\infty, 2\right[$ ou bien à l'intervalle $\left]{5, +\infty}\right[$ .

L'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x-7}\rvert > 3$ est donc $\Bigl]{-\infty, 2}\Bigr[ \cup \Bigl]{5, +\infty}\Bigr[$ .

c) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x+1}\rvert \leq 3x-5$ .

Il faut trouver les valeurs de $x$ qui sont communes aux ensembles solutions des deux inéquations :

$-\left({3x-5}\right) \leq 2x+1 \leq 3x-5$

$\begin{array}{rlcrl} -3x+5 & \leq 2x+1 & \text{et} & 2x+1 & \leq 3x-5 \\ -5x & \leq -4 & \text{et} & -x & \leq -6 \\ x & \geq \dfrac{4}{5} & \text{et} & x & \geq 6 \end{array}$

Il faut faire l'intersection de ces deux ensembles que l'on a représentés sur l'axe réel suivant :

C'est-à-dire que les valeurs de $x$ appartiennent à la fois à l'intervalle $\left[{\frac{4}{5},+\infty}\right[$ et à l'intervalle $\left[{6, +\infty}\right[$ .

L'ensemble solution de l'inéquation $\lvert{2x+1}\rvert \leq 3x-5$ est donc $\bigl[{6, +\infty}\bigr[$ .