Résolution d'équation contenant des fractions rationnelles - Exemple 1

Résoudre l'équation $\dfrac{x}{x+2} + \dfrac{4}{x+6} = 1$.

Le domaine est $\mathbb{R} \setminus \lbrace -6, -2 \rbrace$.

Résolution :

$\begin{array}{ll} \Rightarrow \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{4}{x+6} = 1 & \small\text{; on cherche le plus petit dénominateur commun}\\[0.5em] \Rightarrow \dfrac{x \left({x+6}\right) + 4 \left({x+2}\right) }{\left({x+2}\right) \left({x+6}\right)} = 1& {}\\[0.8em] \Rightarrow x \left({x+6}\right) + 4 \left({x+2}\right) = \left({x+2}\right) \left({x+6}\right)& \small{\text{; on peut multiplier, car } x \neq -2 \text{ et } x \neq -6 }\\[0.8em] \Rightarrow {x^2}+6x+4x+8 = {x^2}+8x+12 & {}\\[0.5em] \Rightarrow 2x = 4 & {} \\[0.5em] \Rightarrow x = 2 & {} \end{array}$

La solution trouvée est $x = 2$, car elle appartient au domaine $\mathbb{R} \setminus \lbrace -6, -2 \rbrace$.

Vérification :

On remplace dans l'équation initiale : $\dfrac{\mathbf{2}}{\mathbf{2}+2} + \dfrac{4}{\mathbf{2}+6} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$.