2.2 Les fonctions algébriques: Fonction quadratique (parabole)

2. Fonction quadratique (parabole)

Une fonction quadratique est une fonction polynomiale du second degré dont l'équation est de la forme

où $a$ , $b$ et $c \in \mathbb{R}$ , $(a \ne 0)$ .

Le graphique de la fonction est représenté par une parabole. À partir du graphique GeoGebra suivant, étudions plus en détail la fonction quadratique afin d'observer plusieurs de ses caractéristiques.

L'orientation de la parabole est déterminée par le paramètre $a$ .

Son ouverture est vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$ .

Déplacez le curseur « a » afin de remarquer l'effet sur l'ouverture de la parabole pour différentes valeurs de $a$ .
Cochez la case Ordonnée. L'ordonnée à l'origine est le point $\left({0, c}\right)$ .

Déplacez le curseur « c » afin de remarquer l'effet sur le graphique pour différentes valeurs de $c$ . La parabole se déplace parallèlement à l'axe des $y$ .
Cochez la case Sommet. Le sommet de la parabole est le point $\left({\dfrac{-b}{2a},f\left({\dfrac{-b}{2a}}\right)}\right)$ . En effet, il y a un axe de symétrie en $x = \dfrac{-b}{2a}$ . Tout point de la parabole possède donc un deuxième point symétrique.

En déplaçant le curseur « b », vous remarquez que l'axe de symétrie se déplace, mais que la distance entre les points symétriques reste la même. De plus, si $a > 0$ , le sommet est un minimum et si $a < 0$ , le sommet est un maximum.
Les zéros de la parabole sont les solutions de l'équation $ax^2+bx+c = 0$ . On peut trouver, s'ils existent, les zéros de la fonction par la formule quadratique $\dfrac{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$ ou par la factorisation.

On appelle le discriminant $\Delta = {b^2} - 4ac$ . Il aide à déterminer le nombre de zéros que possède la fonction. Cochez la case Zéro(s) et déplacez les différents curseurs « a », « b » et « c ».
- Si $\Delta > 0$ , la fonction possède deux zéros, $x=z_1$ et $x = z_2$ tels que
  
  $z_1 = \dfrac{-b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$ et $z_2 = \dfrac{-b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$ .
  
  On peut exprimer la fonction en factorisant le polynôme sous la forme $f(x) = a\left({x-z_1}\right)\left({x-z_2}\right)$ .
  Ex. : Choisissez a = 2, b = 3 et c = -5. Les zéros de la parabole sont $x = -\frac{5}{2}$ et $x = 1$ . En factorisant, on obtient $f(x)=2x^2+3x-5=2\left({x+\frac{5}{2}}\right)\left({x-1}\right)$ . Le discriminant $\Delta = 3^2 - 4(2)(-5) = 49 > 0$ .
- Si $\Delta = 0$ , la fonction possède un zéro $x = z$ situé au sommet de la parabole.
  
  On peut exprimer la fonction en factorisant le polynôme sous la forme $f(x) = a{\left({x-z}\right)}^2$ .
  
  Ex. : Choisissez a = 1, b = -6 et c = 9. La parabole possède un seul zéro en $x = 3$ . En factorisant, on obtient $f(x) = x^2-6x+9 = {\left({x-3}\right)}^2$ . Le discriminant $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 0$ .
- Si $\Delta < 0$ , la fonction ne possède aucun zéro. On ne peut factoriser le polynôme $ax^2+bx+c$ .
  
  Ex. : Choisissez a = 1 et b = 2. En déplaçant le curseur « c », on a que pour les valeurs $c > 1$ , la parabole ne possède aucun zéro. En effet, le discriminant $\Delta = 2^2-4(1)c = 4-4c < 0$ si $c > 1$ .

L'équation d'une parabole peut aussi être exprimée sous la forme canonique. Cette forme sera explorée plus en détails à partir du graphique GeoGebra dans la section des fonctions puissances.

La fonction

$f(x) = a\left({x-h}\right)^2 + k$ est représentée par une parabole de sommet

$(h,k)$ .

On peut tracer le graphique d'une fonction quadratique à partir des éléments précédents. Voici quelques exemples.

: Tracer le graphique de la fonction $f(x)=x^2+4x-5$ .
: Tracer le graphique de la fonction $f(x) =-2x^2+x+3$ .
: Trouver l'équation de la parabole passant par les points $A(-5,0)$ , $B(-1,4)$ et $C(3,0)$ .
: Trouver l'équation de la parabole dont le sommet est situé au point $(2, -4)$ et qui passe par le point $(5, 23)$ .