2.1 Les fonctions: Relation et fonction

1. Relation et fonction

En mathématiques, on définit une relation lorsque les éléments d'un ensemble de départ $A$ et d'un ensemble d'arrivée $B$ sont reliés par une loi quelconque $\mathcal{R}$ .

Exemple : Soit l'ensemble de départ $A = \left\{{2,5}\right\}$ et l'ensemble d'arrivée $B = \{1,4,25\}$ et les relations

$\begin{array}{l}\mathcal{R}_1 : \text{ ... est un facteur de ...} \\ \mathcal{R}_2 : \text{ ... est plus grand que ...} \end{array}$

Ces relations peuvent être représentées par les diagrammes suivants :

Chacune des relations est donc égale à l'ensemble des couples qui ont été formés entre les éléments des deux ensembles.

$\mathcal{R}_1 = \bigl\{ {(2,4), (5,25)} \bigr\}$
$\mathcal{R}_2 = \bigl\{ {(2,1), (5,1), (5,4)} \bigr\}$

En fait, si on crée un ensemble contenant tous les couples $\left({x,y}\right)$ formés en prenant la première composante $x$ dans l'ensemble de départ $A$ et la deuxième composante $y$ dans l'ensemble d'arrivée $B$ , on obtient ce qu'on appelle le produit cartésien de $A$ par $B$ .
On le note :

$A \times B = \bigl\{ { (x,y) \; \vert \; x \in A \text{ et } y \in B} \bigr\}$

Une relation $\mathcal{R}$ est en fait un sous-ensemble de $A \times B$ .

Dans notre exemple, $A \times B$ est un ensemble contenant 6 couples $\left({x,y}\right)$ :

$A \times B = \bigl\{ {(2,1), (2,4), (2,25), (5,1), (5,4), (5,25)} \bigr\}$

$\mathcal{R}_1$ et $\mathcal{R}_2$ sont donc des sous-ensembles de $A \times B$ contenant chacun respectivement 2 et 3 couples.

Certaines relations sont appelées fonctions. Pour cela, elles doivent posséder la caractéristique suivante :

À tout élément de

$A$ correspond au plus un élément de

$B$ .

Dans notre exemple, $\pmb{\mathcal{R}_1}$ est une fonction, tandis que $\pmb{\mathcal{R}_2}$ n'en est pas une puisque l'on y retrouve les couples $(5,1)$ et $(5,4)$ . En effet, dans le diagramme de $\mathcal{R}_2$ on remarque que l'élément $5$ de l'ensemble $A$ est relié à 2 éléments de l'ensemble $B$ .

En général, nous nous intéressons aux fonctions réelles, c'est-à-dire aux fonctions dont les éléments de $A$ et $B$ appartiennent à $\mathbb{R}$ . De telles fonctions sont égales à un ensemble de couples ordonnés de nombres réels. Pour préciser les ensembles de départ $A$ et d'arrivée $B$ d'une fonction, on note $f : A \rightarrow B$ . Si l'on écrit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f$ est alors définie comme étant une fonction réelle.

Définition

Soit $A$ et $B$ des sous-ensembles de $\mathbb{R}$ , une fonction $f$ de $A$ vers $B$ est alors une relation qui, à tout élément $x$ de $A$ , associe au plus un élément $y$ de $B$ . On la note $f(x)$ .

$f$ est une fonction réelle et l'on écrit $\pmb{f : x \rightarrow y = f(x)}$ .

On a $\quad f = \bigl\{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \vert \; y = f(x)} \bigr\}$ où $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ .

La variable $x$ se nomme la variable indépendante. On peut lui attribuer une valeur arbitraire choisie dans $A$ . Mais à partir du moment où la valeur de $x$ est déterminée, la valeur de $y$ ou $f(x)$ dépend de $x$ . On dit alors que $y$ est la variable dépendante.

Exemple :

Considérons la fonction réelle $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ où $f(x) = 4x^2+3$ .

L'équation $f(x) = 4x^2 + 3$ établit le lien entre $x$ et $y=f(x)$ .

$f= \bigl\{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \vert \; y = 4x^2+3} \bigr\}$