2.3 Quelques fonctions particulières: Fonction définie par parties ou par morceaux

1. Fonction définie par parties ou par morceaux

Les fonctions examinées dans les sections précédentes étaient toutes définies par une seule équation. Par contre, plusieurs phénomènes de la vie courante nécessitent plus d'une règle pour les définir.

Une fonction définie par parties est une fonction dont l'équation s'exprime différemment sur certaines parties de son domaine.

Le graphique suivant correspond à la vitesse d'une voiture variant en fonction de différents intervalles de temps. Durant les 10 premières secondes, la voiture a accéléré de manière uniforme pour atteindre une vitesse de 60 km/h (50/3 m/s). Elle a ensuite maintenu cette vitesse constante pendant 15 secondes, et à l'approche d'un feu rouge, elle a freiné de façon constante pendant 4 secondes jusqu'à un arrêt complet.

L'équation correspondant à cette situation est définie par

$v(t) = \left\{ {\begin{array}{cll} \frac{5}{3} t&\text{si}& 0 \leq t \leq 10 \\[0.8em] \frac{50}{3}&\text{si}&10 < t < 25 \\[0.8em] \frac{50}{3} -\frac{25}{6}\left({ t-25}\right)&\text{si}&25 \leq t \leq 29 \end{array}}\right.$ Fonction définie par morceaux

Pour évaluer la vitesse de la voiture à un temps $t$ donné, nous devons déterminer auparavant à quelle partie du domaine appartient cette valeur. Par exemple :

Si $t = 5$ s., la vitesse de la voiture est $v(5) = \frac{5}{3}(5) = \frac{25}{3}$ m/s ou 30 km/h, car $5 \in \left[0, 10\right]$ secondes.

Si $t = 27$ s., la vitesse de la voiture est $v(27) = \frac{50}{3} - \frac{25}{6}\left(27 - 25\right) = \frac{25}{3}$ m/s ou 30 km/h, car $27 \in \left[25, 29\right]$ secondes.

$f$ est une fonction définie par parties et

$a \in \text{dom}f$ , alors pour trouver l'image

$f(a)$ , il faut d'abord déterminer à quelle partie (sous-intervalle) du domaine appartient

$x = a$ .

Un exemple classique d'une fonction définie par parties est la fonction valeur absolue. En effet, cette fonction est définie différemment selon que les valeurs sur son domaine sont positives ou négatives.

$f(x) = |x| = \left\{ \begin{array}{ll} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{array}\right.$ Fonction valeur absolue

Comment déterminer le domaine d'une fonction définie par morceaux

Il faut d'abord se rappeler que le domaine d'une fonction algébrique est trouvé en respectant, entre autres, deux restrictions :

Un dénominateur ne peut jamais être nul.
L'intérieur d'une racine paire doit toujours être $\ge 0$ .

Pour déterminer le domaine d'une fonction définie par morceaux, il faut étudier la règle de la fonction pour chacun de ses sous-intervalles.

Par exemple, étudions plus en détail la fonction suivante :

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll} x^2 & \text{si } x < 1 \\[0.8em] \sqrt{x-1} & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \\[0.8em] \dfrac{x+1}{6-x} & \text{si } x > 4 \end{array}}\right.$

Dans un premier temps, évaluons les images $f(0)$ , $f(1)$ et $f(5)$ :

Si $x < 1$ , la valeur de $f(x)$ est $x^2$ . Comme $0 < 1$ , on obtient que $f(0) = 0^2 = 0$ .
Si $1 \leq x \leq 4$ , la valeur de $f(x)$ est $\sqrt{x-1}$ . Comme $1 \in \left[1, 4\right]$ , on a que $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$ .
Si $x > 4$ , la valeur de $f(x)$ est $\dfrac{x+1}{6-x}$ . Comme $5 > 4$ , on a que $f(5) = \dfrac{5+1}{6-5} = 6$ .

Si nous voulons maintenant déterminer le domaine de cette fonction, nous devons étudier la règle de correspondance pour chacun des trois sous-intervalles suivants : $\left]-\infty, 1\right[$ , $\left[1, 4\right]$ et $\left]4, \infty \right[$ .

Pour $x < 1$ ; la fonction $f(x) = x^2$ est polynômiale, elle est donc définie sur tout l'intervalle $\left]-\infty, 1\right[$ .
Pour $1 \leq x \leq 4$ ; la fonction $f(x) = \sqrt{x-1}$ est définie si l'intérieur de la racine est positif ou nul. Or, on a que
$(x-1) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$ ,alors la fonction est définie sur tout l'intervalle $\left[1, 4\right]$ .
Pour $x > 4$ ; la fonction $f(x)=\dfrac{x+1}{6-x}$ est définie si le dénominateur est non nul. Or, on a que
$6 - x = 0 \Leftrightarrow x = 6$ .Comme cette valeur fait partie de ce sous-intervalle, il faut la rejeter. Ainsi, pour cette dernière partie, $f$ est définie sur $\left]4, 6\right[ \cup \left]6, \infty\right[$ .

Par conséquent, en prenant l'union des domaines des trois parties, on obtient que :

$\text{dom}f = \left]-\infty, 6\right[ \cup \left]6, \infty\right[$

Vous pouvez vous amuser à modifier les sous-intervalles de la fonction précédente dans le graphique Geogebra ci-dessous.

Dans ce graphique, la fonction $f$ est définie par

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll} x^2 & \text{si } x < a_1 \\[0.8em] \sqrt{x-1} & \text{si } a_1 \leq x \leq a_2 \\[0.8em] \dfrac{x+1}{6-x} & \text{si } x > a_2 \end{array}}\right.$

Ainsi, les trois sous-intervalles de définition sont : $\left]-\infty, a_1\right[$ , $\left[a_1, a_2\right]$ et $\left]a_2, \infty\right[$ .

Déplacez le point bleu sur l'axe des $x$ avec le pointeur. Son image $f(x)$ est calculée dans le rectangle bleu en utilisant l'équation de la courbe rose, c'est-à-dire la branche de la courbe associée au sous-intervalle possédant la valeur de $x$ . Vous pouvez donc voir pour quelles valeurs de $x$ la fonction est définie. De plus, en déplaçant les curseurs associés aux paramètres $a_1$ et $a_2$ afin de modifier leurs valeurs, vous pouvez observer le changement sur le domaine de la fonction.

Ex. : Modifiez $a_1 = 0$ et $a_2 = 7$ en déplaçant leur curseur. On a que $\text{dom}f = \left]-\infty, 0\right[ \cup \left[1,\infty\right[$ . En déplaçant le point sur l'axe des $x$ sur l'intervalle $[0,1[$ , vous pouvez voir que $f(x)$ n'existe pas, donc que la fonction n'est pas définie sur cet intervalle.