2.3 Quelques fonctions particulières

Par exemple, étudions plus en détail la fonction suivante :

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll} x^2 & \text{si } x < 1 \\[0.8em] \sqrt{x-1} & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \\[0.8em] \dfrac{x+1}{6-x} & \text{si } x > 4 \end{array}}\right.$

Dans un premier temps, évaluons les images $f(0)$, $f(1)$ et $f(5)$ :

• Si $x < 1$, la valeur de $f(x)$ est $x^2$. Comme $0 < 1$, on obtient que $f(0) = 0^2 = 0$.
• Si $1 \leq x \leq 4$, la valeur de $f(x)$ est $\sqrt{x-1}$. Comme $1 \in \left[1, 4\right]$, on a que $f(1) = \sqrt{1-1} = 0$.
• Si $x > 4$, la valeur de $f(x)$ est $\dfrac{x+1}{6-x}$. Comme $5 > 4$, on a que $f(5) = \dfrac{5+1}{6-5} = 6$.

Si nous voulons maintenant déterminer le domaine de cette fonction, nous devons étudier la règle de correspondance pour chacun des trois sous-intervalles suivants : $\left]-\infty, 1\right[$, $\left[1, 4\right]$ et $\left]4, \infty \right[$.

• Pour $x < 1$; la fonction $f(x) = x^2$ est polynômiale, elle est donc définie sur tout l'intervalle $\left]-\infty, 1\right[$.
• Pour $1 \leq x \leq 4$; la fonction $f(x) = \sqrt{x-1}$ est définie si l'intérieur de la racine est positif ou nul. Or, on a que
  $(x-1) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$,alors la fonction est définie sur tout l'intervalle $\left[1, 4\right]$.
• Pour $x > 4$; la fonction $f(x)=\dfrac{x+1}{6-x}$ est définie si le dénominateur est non nul. Or, on a que
  $6 - x = 0 \Leftrightarrow x = 6$.Comme cette valeur fait partie de ce sous-intervalle, il faut la rejeter. Ainsi, pour cette dernière partie, $f$ est définie sur $\left]4, 6\right[ \cup \left]6, \infty\right[$.

Par conséquent, en prenant l'union des domaines des trois parties, on obtient que :

$\text{dom}f = \left]-\infty, 6\right[ \cup \left]6, \infty\right[$

Vous pouvez vous amuser à modifier les sous-intervalles de la fonction précédente dans le graphique Geogebra ci-dessous.

Dans ce graphique, la fonction $f$ est définie par

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll} x^2 & \text{si } x < a_1 \\[0.8em] \sqrt{x-1} & \text{si } a_1 \leq x \leq a_2 \\[0.8em] \dfrac{x+1}{6-x} & \text{si } x > a_2 \end{array}}\right.$

Ainsi, les trois sous-intervalles de définition sont : $\left]-\infty, a_1\right[$, $\left[a_1, a_2\right]$ et $\left]a_2, \infty\right[$.

Déplacez le point bleu sur l'axe des $x$ avec le pointeur. Son image $f(x)$ est calculée dans le rectangle bleu en utilisant l'équation de la courbe rose, c'est-à-dire la branche de la courbe associée au sous-intervalle possédant la valeur de $x$. Vous pouvez donc voir pour quelles valeurs de $x$ la fonction est définie. De plus, en déplaçant les curseurs associés aux paramètres $a_1$ et $a_2$ afin de modifier leurs valeurs, vous pouvez observer le changement sur le domaine de la fonction.

Ex. : Modifiez $a_1 = 0$ et $a_2 = 7$ en déplaçant leur curseur. On a que $\text{dom}f = \left]-\infty, 0\right[ \cup \left[1,\infty\right[$. En déplaçant le point sur l'axe des $x$ sur l'intervalle $[0,1[$, vous pouvez voir que $f(x)$ n'existe pas, donc que la fonction n'est pas définie sur cet intervalle.

Ex. : Modifiez $a_1 = 2$ et $a_2 = 6$ en déplaçant leur curseur.

• Déplacez le point en $x=2$. On a que $f(2) = 1$, car $f(x)=\sqrt{x-1}$ lorsque $x=2$.
• Déplacez le point en $x=6$. On a que $f(6) = \sqrt{5}=2,24$, car $f(x)=\sqrt{x-1}$ lorsque $x=6$.
• Déplacez le point en $x=9$. On a que $f(9) =3,33=\frac{10}{3}$, car $f(x)=\frac{x+1}{6-x}$ lorsque $x=9$.
• Ainsi le domaine de $f$ est $\text{dom}f =\mathbb{R}$.

Déplacez les différents curseurs « a », « b », « h » et « k ».

• Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = a|x|$ un déplacement horizontal et le paramètre $\pmb{k}$, un déplacement vertical.
• Le graphique admet pour axe de symétrie la droite $x=h$. De plus, le sommet de la fonction est le point $\left({h,k}\right)$.
• Le paramètre $\pmb{a}$ déforme la fonction $f(x) = |x|$ en la contractant ou en la dilatant. De plus, si $a$ est négatif, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x$.
• Par conséquent, si $a>0$, le sommet $(h,k)$ de la fonction est un minimum et si $a$, le sommet est un maximum.
• Le paramètre $\pmb{b}$ déforme également la fonction $f(x)=|x|$. Par contre, si $b$ est négatif, la courbe ne subit aucune réflexion par rapport à l'axe des $y$. Étant donné que $b$ est à l'intérieur de la valeur absolue, il n'influence pas le signe de la fonction, c'est-à-dire que $|-bx| = |bx|$.

Exemple : Étudions la fonction $f(x) = 2\lvert{-(x-1)}\rvert -3$, où $a = 2$, $b = -1$, $h=1$ et $k=-3$. Par simplification, on peut voir que cette fonction a également pour équation :

$f(x) = 2\lvert{-(x-1)}\rvert -3 = 2|-1|\lvert{x-1}\rvert - 3=\boxed{2\lvert{x-1}\rvert-3}$

Le graphique est ouvert vers le haut, car $a=2>0$.

De plus, le sommet de la fonction est un minimum avec des coordonnées de $(1,-3)$.

Pour déterminer les zéros de $f$, il faut résoudre l'équation $f(x)=0$. En utilisant la démarche de résolution d'équations vue dans cette à la section 1.4, on doit résoudre :

$\quad 2\lvert{x-1}\rvert - 3 = 0 \Rightarrow 2\lvert{x-1}\rvert = 3$.

$2\lvert{x-1}\rvert = 3 \Leftrightarrow 2(x-1) = 3 \text{ ou } 2(x-1) = -3$

$\begin{array}{lll}\Rightarrow 2x-2=3&\quad& 2x-2=-3\\\Rightarrow 2x=5&\quad&2x=-1\\\Rightarrow x=\frac{5}{2}&\quad&x=-\frac{1}{2}\end{array}$

Les zéros de $f$ sont $x=-\dfrac{1}{2}$ et $x=\dfrac{5}{2}$.

Finalement, on peut déterminer le signe de la fonction à l'aide du graphique. On a que $f$ est positive sur l'intervalle $\left]{-\infty,-\frac{1}{2}}\right[ \cup \left]{\frac{5}{2},\infty}\right[$ et $f$ est négative sur l'intervalle $\left]{-\frac{1}{2},\frac{5}{2}}\right[$.

Exemple : Traçons le graphique de la fonction $g(x)= \lvert{x^2+4x-5}\rvert$.

Étant donné que $g(x)$ prend toujours des valeurs positives ou nulles, il faut déterminer les valeurs de $x$ qui rendent négatif le polynôme à l'intérieur de la valeur absolue. Ainsi, on va étudier le signe du polynôme $x^2+4x-5$.

En factorisant, on obtient $(x+5)(x-1)$. Les zéros sont donc $x=-5$ et $x=1$. Construisons un tableau de signes.

Par conséquent,

$x^2+4x-5 > 0$ sur l'intervalle $\left]{-\infty,-5}\right[ \cup \left]{1,\infty}\right[$.

$x^2+4x-5 < 0$ sur l'intervalle $\left]{-5,1}\right[$.

Nous pouvons donc réécrire l'équation de la fonction $g$ à partir de la définition de la fonction valeur absolue de la façon suivante :

$\lvert{x^2+4x-5}\rvert = \left\{\begin{array}{ll}x^2+4x-5&\text{si } x \leq -5 \text{ ou } x \geq 1 \\[0.8em] -(x^2+4x-5) & \text{si } -5 < x < 1 \end{array}\right.$

Nous pouvons maintenant traçer ces deux paraboles dans leur intervalle de définition. Sur le graphique de gauche, $x^2+4x-5$ est représentée par la parabole en rouge et $-(x^2+4x-5)$ par la parabole en bleu. Par conséquent, en prenant seulement le tracé de ces courbes qui se situe au-dessus de l'axe des $x$ (positif), on obtient le graphique de la fonction $g(x)=\lvert{x^2+4x-5}\rvert$ illustré à droite.

Exemple : Vérifier que la fonction $f(x)=\dfrac{3x^2-x^4}{\cos(x)}$ est une fonction paire.

Solution Pour que $f$ soit une fonction paire, elle doit satisfaire l'égalité $f(-x)=f(x)$.

Vérifions

$\begin{array}{lll}f(-x)&=\dfrac{3(-x)^2-(-x)^4}{\cos(-x)}&\small\text{; on remplace la variable par }-x\\[1em]&=\dfrac{3x^2-x^4}{\cos(x)}&\small\text{; car }(-x)^n=x^n\text{ si }n\text{ est un entier pair}\\[-1em]&&\;\small\text{ et }\cos(-x)=\cos(x)\text{ car cosinus est}\\[-0.5em]&&\;\small\text{ une fonction paire}\\&=f(x)&\end{array}$

L'égalité est démontrée.

Exemples : Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou si elles ne sont ni paires ni impaires.

a) $f(x)=\dfrac{x^3-x+1}{x^2+3x}$.

Solution Il faut tout d'abord déterminer la valeur de $f(-x)$. Si $f(-x)=f(x)$, la fonction est paire, si $f(-x)=-f(x)$, la fonction est impaire et si on n'obtient aucune des deux égalités précédentes, la fonction n'est ni paire ni impaire.

Vérifions,

$\begin{array}{ll}f(-x)&=\dfrac{(-x)^3-(-x)+1}{(-x)^2+3(-x)}\\[0.8em]&=\dfrac{-x^3+x+1}{x^2-3x}\end{array}$

Étant donné que $f(-x)\neq f(x)$ puisque $\dfrac{-x^3+x+1}{x^2-3x}\neq \dfrac{x^3-x+1}{x^2+3x}$, on peut conclure que la fonction n'est pas paire.

De plus $f(-x)\neq -f(x)$ puisque $\dfrac{-x^3+x+1}{x^2-3x}\neq \dfrac{-(x^3-x+1)}{x^2+3x}$, alors la fonction n'est pas impaire.

Par conséquent, la fonction n'est ni paire ni impaire.

b) $f(x)=\dfrac{\sin(6x)}{x^4}$.

Solution Tout comme dans la démarche précédente, il faut déterminer la valeur de $f(-x)$.

Calculons,

$\begin{array}{lll}f(-x)&=\dfrac{\sin(-6x)}{(-x)^4}&\\[0.8em]&=\dfrac{-\sin(6x)}{x^4}&\small\text{; car sinus est une fonction impaire}\\[-0.5em]&&\;\small\text{ et }(-x)^4=x^4\\&=-\left(\dfrac{\sin(6x)}{x^4}\right)&\small\text{; mise en évidence de -1}\\&=-f(x)&\end{array}$

Étant donné que $f(-x)=-f(x)$, alors $f$ est une fonction impaire.

Voici un graphique Geogebra représentant la fonction paire et la fonction impaire des exemples précédents : $f(x)=\dfrac{3x^2-x^4}{\cos(x)}$ et $f(x)=\dfrac{\sin(6x)}{x^4}$.

Cliquez sur la case fonction paire ou fonction impaire pour voir apparaître la fonction de votre choix. Remarquez la symétrie qui existe dans chacun des graphiques. En déplaçant le curseur a, vous déplacez les points symétriques sur la courbe de la fonction.

• Sur la fonction paire, pour une valeur de x=a donnée, l'image f(a) et l'image de son opposé f(-a) sont égales.
• Sur la fonction impaire, pour une valeur de x=a donnée, l'image f(a) et l'image de son opposé f(-a) sont opposées, donc de signe contraire.