2.1 Les fonctions

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Livre:	2.1 Les fonctions

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Date:	samedi 18 mai 2024, 04:51

Description

Relation et fonction
Domaine et image
Graphique d'une fonction
Points d'intersection avec les axes

Table des matières

1. Relation et fonction
2. Domaine et image
3. Graphique d'une fonction
4. Points d'intersection avec les axes

1. Relation et fonction

En mathématiques, on définit une relation lorsque les éléments d'un ensemble de départ $A$ et d'un ensemble d'arrivée $B$ sont reliés par une loi quelconque $\mathcal{R}$ .

Exemple : Soit l'ensemble de départ $A = \left\{{2,5}\right\}$ et l'ensemble d'arrivée $B = \{1,4,25\}$ et les relations

$\begin{array}{l}\mathcal{R}_1 : \text{ ... est un facteur de ...} \\ \mathcal{R}_2 : \text{ ... est plus grand que ...} \end{array}$

Ces relations peuvent être représentées par les diagrammes suivants :

Chacune des relations est donc égale à l'ensemble des couples qui ont été formés entre les éléments des deux ensembles.

$\mathcal{R}_1 = \bigl\{ {(2,4), (5,25)} \bigr\}$
$\mathcal{R}_2 = \bigl\{ {(2,1), (5,1), (5,4)} \bigr\}$

En fait, si on crée un ensemble contenant tous les couples $\left({x,y}\right)$ formés en prenant la première composante $x$ dans l'ensemble de départ $A$ et la deuxième composante $y$ dans l'ensemble d'arrivée $B$ , on obtient ce qu'on appelle le produit cartésien de $A$ par $B$ .
On le note :

$A \times B = \bigl\{ { (x,y) \; \vert \; x \in A \text{ et } y \in B} \bigr\}$

Une relation $\mathcal{R}$ est en fait un sous-ensemble de $A \times B$ .

Dans notre exemple, $A \times B$ est un ensemble contenant 6 couples $\left({x,y}\right)$ :

$A \times B = \bigl\{ {(2,1), (2,4), (2,25), (5,1), (5,4), (5,25)} \bigr\}$

$\mathcal{R}_1$ et $\mathcal{R}_2$ sont donc des sous-ensembles de $A \times B$ contenant chacun respectivement 2 et 3 couples.

Certaines relations sont appelées fonctions. Pour cela, elles doivent posséder la caractéristique suivante :

À tout élément de

$A$ correspond au plus un élément de

$B$ .

Dans notre exemple, $\pmb{\mathcal{R}_1}$ est une fonction, tandis que $\pmb{\mathcal{R}_2}$ n'en est pas une puisque l'on y retrouve les couples $(5,1)$ et $(5,4)$ . En effet, dans le diagramme de $\mathcal{R}_2$ on remarque que l'élément $5$ de l'ensemble $A$ est relié à 2 éléments de l'ensemble $B$ .

En général, nous nous intéressons aux fonctions réelles, c'est-à-dire aux fonctions dont les éléments de $A$ et $B$ appartiennent à $\mathbb{R}$ . De telles fonctions sont égales à un ensemble de couples ordonnés de nombres réels. Pour préciser les ensembles de départ $A$ et d'arrivée $B$ d'une fonction, on note $f : A \rightarrow B$ . Si l'on écrit $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $f$ est alors définie comme étant une fonction réelle.

Définition

Soit $A$ et $B$ des sous-ensembles de $\mathbb{R}$ , une fonction $f$ de $A$ vers $B$ est alors une relation qui, à tout élément $x$ de $A$ , associe au plus un élément $y$ de $B$ . On la note $f(x)$ .

$f$ est une fonction réelle et l'on écrit $\pmb{f : x \rightarrow y = f(x)}$ .

On a $\quad f = \bigl\{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \vert \; y = f(x)} \bigr\}$ où $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ .

La variable $x$ se nomme la variable indépendante. On peut lui attribuer une valeur arbitraire choisie dans $A$ . Mais à partir du moment où la valeur de $x$ est déterminée, la valeur de $y$ ou $f(x)$ dépend de $x$ . On dit alors que $y$ est la variable dépendante.

Exemple :

Considérons la fonction réelle $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ où $f(x) = 4x^2+3$ .

L'équation $f(x) = 4x^2 + 3$ établit le lien entre $x$ et $y=f(x)$ .

$f= \bigl\{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \vert \; y = 4x^2+3} \bigr\}$

2. Domaine et image

Les fonctions sont souvent exprimées par une équation qui relie la variable $x$ à son image. Ainsi, lorsque l'on veut déterminer l'image de $\pmb{x}$ par la fonction $\pmb{f}$ , il suffit de remplacer $x$ dans l'équation par sa valeur ou son expression afin d'obtenir son image $f(x)$ ou $y$ .

On peut imaginer que la fonction $f$ agit comme une machine qui effectue une transformation de $x$ .

Exemple :

Considérons la fonction réelle $f = \bigl\{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \vert \; y = 3x^2+4} \bigr\}$ .

Lorsque l'on introduit $x$ dans la machine $f$ , celle-ci fait subir à $x$ les transformations de l'opération $3x^2+4$ afin d'obtenir $f(x)$ à la sortie. C'est-à-dire que $x$ est élevé au carré, ensuite le résultat est multiplié par 3 et finalement, ce dernier est ajouté à 4.

Ainsi, si on y introduit :

la valeur réelle $x=5$ , l'image de $5$ par la fonction $f$ est
$f(5) = 3\left({5^2}\right) + 4 = 3\left({25}\right) + 4 = 79$
et le couple $\left({x,y}\right)=\left({5,79}\right) \in f$ .
le symbole $x=\Delta$ , l'image de $\Delta$ par la fonction $f$ est
$f(\Delta)=3\Delta^2+4$
et le couple $\left({\Delta,3\Delta^2+4}\right) \in f$ .
l'expression $x=a+h$ , l'image de $a+h$ par la fonction $f$ est $f(a+h)=3\left({a+h}\right)^2+4=3\left({a^2+2ah+h^2}\right)+4=3a^2+6ah+3h^2+4$
et le couple $\left({a+h,3a^2+6ah+3h^2+4}\right) \in f$ .
Par contre, si l'on veut calculer l'expression $f(a)+h$ , on obtient plutôt :

$f(a)+h=\left(3a^2+4\right)+h=3a^2+4+h$

Il est très important de noter que $\pmb{f(a+h) \neq f(a) + h}$ .

Il existe également plusieurs fonctions pour lesquelles une valeur réelle $x$ ne possède pas d'image réelle $y=f(x)$ .

Exemple :

Considérons la fonction réelle $g = \left\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \Bigl\vert \; y = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x} \right\rbrace$ . On a

$g(7) = \dfrac{\sqrt{7+2}}{7} = \dfrac{\sqrt{9}}{7} = \dfrac{3}{7}$ et le couple $\left({7,\frac{3}{7}}\right) \in g$ .
$g(-3)=\dfrac{\sqrt{-3+2}}{-3}=\dfrac{\sqrt{-1}}{-3}$
$g(-3)$ n'existe pas, car $\frac{\sqrt{-1}}{-3}$ n'est pas un nombre réel étant donné la racine carrée d'un nombre négatif.
Le couple $\left({-3,g(-3)}\right) \notin g$ .
$g(0)=\dfrac{\sqrt{0+2}}{0} = \dfrac{\sqrt{2}}{0}$
$g(0)$ n'existe pas, car $\frac{\sqrt{2}}{0} \notin \mathbb{R}$ étant donné la division par zéro.
Le couple $\left({0,g(0)}\right) \notin g$ .
$g(a^2-2) = \dfrac{\sqrt{(a^2-2)+2}}{(a^2-2)}=\dfrac{\sqrt{a^2}}{a^2-2}=\dfrac{|a|}{a^2-2}$
Le couple $\left(a^2-2,\frac{|a|}{a^2-2}\right)\in g\;\;\forall\; a\in\mathbb{R}\setminus\lbrace \pm\sqrt{2}\rbrace.$

Par conséquent, l'équation $y=f(x)$ qui définit la relation qui existe entre les variables réelles $x$ et $y$ permet de déterminer quels éléments de l'ensemble de départ $\mathbb{R}$ possèdent une image dans l'ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$ . L'ensemble des éléments possédant une image forme le domaine de la fonction $f$ et l'ensemble des images forme le codomaine de la fonction $f$ .

3. Graphique d'une fonction

Chaque couple $\left({x,y}\right)$ appartenant à une fonction réelle $f$ peut être représenté par un point dans le plan cartésien. $x$ est alors l'abcisse et $y$ l'ordonnée du point dans le plan. On peut ainsi donner une représentation graphique d'une fonction qui dépend notamment de son domaine et de son équation.

Le graphique d'une fonction constitue l'ensemble des points correspondant à tous les couples

$\left({x,y}\right)$ d'une fonction

$f$ tels que

$x \in \mathbb{R}$ ,

$y \in \mathbb{R}$ et

$y = f(x).$

Exemple :

Le graphique ci-contre représente la fonction $f(x)=x^3+4x^2+3x$ , où le $\text{dom}f = \left]{-3,1}\right].$

Puisque le domaine est l'intervalle réel $\left]{-3,1}\right],$ le graphique est constitué d'une infinité de points. À partir d'un tableau de valeurs, il est possible d'obtenir quelques points du graphique en remplaçant les valeurs de $x$ dans l'équation.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$
$y=x^3+4x^2+3x$	$\nexists$	$2$	$0$	$0$	$\frac{21}{8}$	$8$
$(x,y)$		$\left({-2,2}\right)$	$\left({-1,0}\right)$	$\left({0,0}\right)$	$\left({\frac{1}{2},\frac{21}{8}}\right)$	$\left({1,8}\right)$

$f(-3)$ n'est pas défini, puisque $-3 \notin \text{dom}f.$ On indique donc un point vide $(\circ)$ à l'extrémité gauche du graphique.

Puisque $1 \in \text{dom}f$ , on peut calculer $f(1) = (1)^3+4(1)^2+3(1) = 8$ et on place un point plein $(\bullet)$ à l'autre extrémité pour indiquer que le point $\left({1,8}\right)$ appartient à la courbe.

Un tableau de valeurs est utile pour tracer une esquisse, mais il ne permet pas de connaître avec certitude la forme de la courbe entre ces points. Nous verrons plus loin quelques modèles de fonctions courantes et les caractéristiques de leur graphique.

Test de la droite verticale

Le test de la droite verticale nous permet de déterminer si un graphique représente une fonction et non seulement une relation.

Si toute droite verticale coupe le graphique en au plus un point, alors ce graphique est celui d'une fonction.

Par exemple :

Le graphique ci-contre n'est pas celui d'une fonction, car il existe entre autres une droite verticale qui coupe la courbe en trois points, soit plus d'un point.

Le graphique d'une fonction peut révéler plusieurs informations. On peut par exemple visualiser :

Le domaine et le codomaine;
Les points qui croisent les axes de coordonnées;
Le signe de la fonction;
Les extremums de la fonction.

Exemple :

Cochez la case dom f, puis faites bouger le curseur « Valeur de x ». Le tracé en rouge correspond aux valeurs de $x$ possédant une image $f(x).$

$\text{dom}f = \left[{-4,5}\right[ \cup \left[{7,\infty}\right[$
Cochez la case codom f, puis faites bouger le curseur « Valeur de x ». Le tracé en vert correspond aux valeurs de $y=f(x).$

$\text{codom}f=\left[{-7,\infty}\right[$
En cochant la case Signe de la fonction et en modifiant toujours la valeur de $x$ , vous pouvez voir lorsque la fonction est positive et lorsqu'elle est négative. En effet, pour tout $x \in \text{dom}f$ :

$f(x) > 0$ si $x > -3$
$f(x) < 0$ si $x < -3$

La fonction $f$ croise l'axe des abcisses au point Zéro seulement. On a que $f(x) = 0$ si $x=-3.$

Attention, lorsque $x=3$ , on a $f(3)=7$ . Le point $\left({3,0}\right) \notin f$ , car le point est vide $(\circ).$
La fonction croise l'axe des ordonnées en $y=9$ , soit au point Ordonnée. On a donc que $f(0) = 9.$

4. Points d'intersection avec les axes

Les points d'intersection avec les axes présentent un intérêt particulier pour l'analyse d'une fonction. Ces points sont appelés abcisse à l'origine et ordonnée à l'origine.

$\blacktriangleright$ Abcisse à l'origine

Les points d'intersection du graphique d'une fonction $f$ avec l'axe horizontal sont tous les points du graphique de la forme $\left({a,0}\right)$ .

De plus, la valeur $x=a$ est un zéro de la fonction $f$ , car $f(a)=0$ . Ainsi, le nombre de points d'intersection du graphique avec l'axe des $x$ est égal au nombre de zéros de la fonction. On peut en déduire que si une fonction n'a aucun zéro, son graphique ne coupe jamais l'axe horizontal.

Un zéro d'une fonction

$f$ est une valeur de

$x$ appartenant au domaine de

$f$ pour laquelle

$f(x)=0$ .

De plus, par le théorème de factorisation,

$a$ est un zéro de la fonction

$f$

$\Leftrightarrow$

$\left({x-a}\right)$ est un facteur de

$f(x)$ .

Par conséquent, si une fonction est définie par un produit de facteurs, on peut facilement trouver ses zéros.

Exemple :

Trouvons, si possible, les zéros de la fonction $f(x)=\dfrac{x\left({2x-5}\right)}{x-2}$ .

Pour trouver les zéros de la fonction $f$ , il suffit de trouver les solutions de l'équation $f(x) = 0$ qui appartiennent au domaine.

$\text{dom}f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ , car le dénominateur $x-2 = 0$ si $x=2$ .

$\begin{array}{lcl} \dfrac{x\left({2x-5}\right)}{x-2} =0 & \Leftrightarrow & x\left({2x-5}\right)=0 \\[0.8em] & \Leftrightarrow & x =0 \text{ ou } 2x-5 = 0 \\[0.8em] & \Leftrightarrow & x =0 \text{ ou } x = \frac{5}{2} \end{array}$

Étant donné que ces deux valeurs appartiennent au domaine, la fonction possède deux zéros : $x=0$ et $x = \dfrac{5}{2}$ .

Les points $\left({0,0}\right)$ et $\left({\frac{5}{2},0}\right)$ sont donc les points où la courbe croise l'axe des $x$ .

$\blacktriangleright$ Ordonnée à l'origine

L'ordonnée du point de rencontre de la courbe

$f$ avec l'axe des

$y$ est appelée ordonnée à l'origine.

Il s'agit de la valeur

$f(0)$ .

Ce point d'intersection est unique, car la valeur $x=0$ ne peut avoir qu'une seule image par la fonction $f$ .

Exemple :

Soit la fonction $f(x)=2x^3-3x^2-27$ . Trouvons, si possible, tous les zéros de la fonction $f$ sachant que le point $\left({3,0}\right)$ est une abscisse à l'origine.

Il faut d'abord factoriser le polynôme $2x^3-3x^2-27$ afin de résoudre l'équation $f(x) = 0$ .

Étant donné que $x=3$ est une solution de l'équation, alors par le théorème de factorisation, $\left({x-3}\right)$ est un facteur de $2x^3-3x^2-27$ . Nous obtenons donc que

$2x^3-3x^2-27 = \left({x-3}\right) q(x)$ , où $q(x)$ est un polynôme de degré $2$ .

Nous pouvons trouver le polynôme $q(x)$ en effectuant la division suivante:

$q(x) = \dfrac{2x^3-3x^2-27}{x-3} \Rightarrow$

$\begin{array}{rl}2x^3-3x^2-27&\left|\underline{x-3}\right.\\\underline{-\left( 2x^3 - 6x^2\right)}&\; 2x^2+3x + 9\\3x^2 -27&\\\underline{-\left(3x^2 - 9x\right)}&\\9x-27&\\\underline{-\left(9x - 27\right)}&\\0&\end{array}$

On peut donc écrire $2{x^3}-3{x^2}-27 = \left({x-3}\right)\left({2{x^2}+3x+9}\right)$ .
Or, le polynôme $2{x^2}+3x+9$ est non factorisable, car son discriminant $\Delta = {b^2}-4ac = -27 < 0.$