2.2 Les fonctions algébriques

• Le graphique de la fonction est représenté par une droite ni verticale, ni horizontale.

• La fonction coupe l'axe des abcisses au point $\left({\dfrac{-b}{a},0}\right)$ et possède donc un seul zéro.

  Elle coupe l'axe des ordonnées au point $\left({0,b}\right)$. Déplacez le curseur « b » afin de remarquer l'effet sur le graphique de différentes valeurs de $b$.

• La pente $a$ de la droite indique la variation de $y$ pour chaque accroissement de 1 unité de $x$.

  Déplacez le curseur « a » afin de modifier sa valeur. Nous remarquons que :

  • si $a > 0$, la fonction est croissante;
  • si $a < 0$, la fonction est décroissante.
  • si $a = 0$, la droite est horizontale. Il ne s'agit plus d'une fonction linéaire, mais d'une fonction constante d'équation $f(x) = b$.

• La pente d'une fonction linéaire est constante, c'est-à-dire qu'elle a la même valeur, quels que soient les points de la droite entre lesquels on la calcule.

  Si $A\left({x_1,y_1}\right)$ et $B\left({x_2,y_2}\right)$ sont deux points de cette droite, alors

  $a=\dfrac{\text{déplacement vertical}}{\text{déplacement horizontal}}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  En déplaçant le point A sur la droite, vous pouvez remarquez que ce rapport demeure constant.

• L'orientation de la parabole est déterminée par le paramètre $a$.

  Son ouverture est vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$.

  Déplacez le curseur « a » afin de remarquer l'effet sur l'ouverture de la parabole pour différentes valeurs de $a$.

• Cochez la case Ordonnée. L'ordonnée à l'origine est le point $\left({0, c}\right)$.

  Déplacez le curseur « c » afin de remarquer l'effet sur le graphique pour différentes valeurs de $c$. La parabole se déplace parallèlement à l'axe des $y$.

• Cochez la case Sommet. Le sommet de la parabole est le point $\left({\dfrac{-b}{2a},f\left({\dfrac{-b}{2a}}\right)}\right)$. En effet, il y a un axe de symétrie en $x = \dfrac{-b}{2a}$. Tout point de la parabole possède donc un deuxième point symétrique.

  En déplaçant le curseur « b », vous remarquez que l'axe de symétrie se déplace, mais que la distance entre les points symétriques reste la même. De plus, si $a > 0$, le sommet est un minimum et si $a < 0$, le sommet est un maximum.

• Les zéros de la parabole sont les solutions de l'équation $ax^2+bx+c = 0$. On peut trouver, s'ils existent, les zéros de la fonction par la formule quadratique $\dfrac{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$ ou par la factorisation.

  On appelle le discriminant $\Delta = {b^2} - 4ac$. Il aide à déterminer le nombre de zéros que possède la fonction. Cochez la case Zéro(s) et déplacez les différents curseurs « a », « b » et « c ».

  • Si $\Delta > 0$, la fonction possède deux zéros, $x=z_1$ et $x = z_2$ tels que

    $z_1 = \dfrac{-b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$ et $z_2 = \dfrac{-b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$.

    On peut exprimer la fonction en factorisant le polynôme sous la forme $f(x) = a\left({x-z_1}\right)\left({x-z_2}\right)$.

    Ex. : Choisissez a = 2, b = 3 et c = -5. Les zéros de la parabole sont $x = -\frac{5}{2}$ et $x = 1$. En factorisant, on obtient $f(x)=2x^2+3x-5=2\left({x+\frac{5}{2}}\right)\left({x-1}\right)$. Le discriminant $\Delta = 3^2 - 4(2)(-5) = 49 > 0$.

  • Si $\Delta = 0$, la fonction possède un zéro $x = z$ situé au sommet de la parabole.

    On peut exprimer la fonction en factorisant le polynôme sous la forme $f(x) = a{\left({x-z}\right)}^2$.

    Ex. : Choisissez a = 1, b = -6 et c = 9. La parabole possède un seul zéro en $x = 3$. En factorisant, on obtient $f(x) = x^2-6x+9 = {\left({x-3}\right)}^2$. Le discriminant $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 0$.

  • Si $\Delta < 0$, la fonction ne possède aucun zéro. On ne peut factoriser le polynôme $ax^2+bx+c$.

    Ex. : Choisissez a = 1 et b = 2. En déplaçant le curseur « c », on a que pour les valeurs $c > 1$, la parabole ne possède aucun zéro. En effet, le discriminant $\Delta = 2^2-4(1)c = 4-4c < 0$ si $c > 1$.

Les premières valeurs de $n$ correspondent à des fonctions de base :

• Pour $n = 1$, c'est la fonction linéaire $f(x) = x$.
• Pour $n = 2$, c'est la fonction quadratique $f(x) = x^2$.
• Pour $n = 3$, c'est la fonction cubique $f(x) = x^3$.
• Si $n = 0$, on aura la fonction constante $f(x) = 1$.

Toutes ces fonctions ont comme point commun $\left({1,1}\right)$. Déplacez le curseur vertical à gauche afin de remarquer l'effet sur le graphique d'une augmentation ou d'une diminution de l'exposant.

On peut séparer les fonctions puissances en deux catégories, selon que l'exposant $n$ est pair ou impair.

• Pour $n$ pair,
• $\text{dom}f \in \mathbb{R}$
• $\text{codom}f = \left[{0, \infty}\right[$.
• La fonction possède l'axe des $y$ comme axe de symétrie.
• Elle possède un seul zéro en $x = 0$ et il s'agit d'un minimum.
• Pour $n$ impair,
• $\text{dom}f \in \mathbb{R}$
• $\text{codom}f = \mathbb{R}$.
• L'origine $(0,0)$ est un centre de symétrie.
• Elle possède également un seul zéro en $x = 0$ et la fonction est croissante sur son domaine.

On peut également créer d'autres fonctions composées à partir des fonctions puissances de base. Nous élaborerons ce concept plus en détail dans la section sur les transformations de fonctions. Pour l'instant, dans le graphique Geogebra, on s'intéresse aux fonctions de la forme

$f(x) = a{\left({x-h}\right)}^n + k$

Déplacez les différents curseurs « a », « h » et « k ».

• Le paramètre $\pmb{a}$ influence la pente de la courbe. Si $a$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x.$

Ex. : Choisissez la fonction de base $f(x) = x^4$. Si $a > 1$, la fonction décroit et croit plus rapidement que la fonction $x^4$ (la courbe se comprime sur l'axe des $y$). Si $0 < a < 1$, la fonction décroit et croit moins rapidement. De plus, pour $a > 0$, la fonction est positive et pour $a < 0$, la fonction est négative.

• Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = a{x^n}$ une translation horizontale et le paramètre $\pmb{k}$, une translation verticale.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = \left({x+3}\right)^3 + 2$. On remarque le graphique de la fonction de base $x^3$ subit un déplacement vers la gauche de $3$ et vers le haut de $2$. Donc le point $(0,0)$ s'est déplacé au point $(-3,2)$.

Par conséquent, on peut généraliser les résultats précédents.

Déplacez le curseur vertical à gauche afin de remarquer l'effet sur le graphique de l'augmentation ou de la diminution de l'exposant. Les premières valeurs de $n$ correspondent aux fonctions suivantes :

• Pour $n = 1$, c'est la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$.
• Pour $n = 2$, c'est la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$.

Voici quelques caractéristiques communes de ces fonctions.

• $\text{dom}f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Toutes ces fonctions ont comme asymptote verticale $x = 0$ et comme asymptote horizontale $y = 0$. Le centre du graphique est le point d'intersection des deux asymptotes, soit le point $(0,0)$.
• Elles n'ont aucun zéro ni ordonnée à l'origine.
• Elles possèdent aucun minimum ni maximum.

On peut également créer d'autres fonctions composées à partir des fonctions rationnelles de base. Nous élaborerons ce concept plus en détail dans la section sur les transformations de fonctions. Pour l'instant, dans le graphique Geogebra, on s'intéresse aux fonctions de la forme

$f(x) = \dfrac{a}{\left({x-h}\right)^n} + k$

Déplacez les différents curseurs « a », « h » et « k ».

• Le paramètre $\pmb{a}$ influe sur la pente de la courbe. Si $a$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x.$

Ex. : Choisissez la fonction de base $f(x) = \dfrac{a}{x}$. Si $a > 0$, la fonction est décroissante sur son domaine et est positive sur l'intervalle $\left]{0, \infty}\right[$. Si $a < 0$, la fonction est croissante sur son domaine et est positive sur l'intervalle $\left]{-\infty, 0}\right[$.

• Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = \dfrac{a}{x^n}$ une translation horizontale et le paramètre $\pmb{k}$, une translation verticale.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = \dfrac{2}{\left({x+1}\right)^2} - 2$. On remarque que tous les points du graphique de base $\dfrac{2}{x^2}$ subissent un déplacement vers la gauche de $1$ et vers le bas de $2$. Le centre $(0,0)$ se déplace donc au point $(-1,-2)$. Ainsi, $x = -1$ est l'asymptote verticale et $y = -2$ est l'asymptote horizontale.

Par conséquent, on peut généraliser les résultats précédents.

La fonction racine carrée de base $f(x)=\sqrt{x}$ possède les caractéristiques suivantes:

• La fonction possède un seul zéro en $x = 0$ et il s'agit d'un minimum.
• Elle est croissante sur tout son domaine, soit sur $\left[{0, \infty}\right[$.
• Elle est positive sur $\left]{0, \infty}\right[$ et nulle si $x=0$. Elle n'est jamais négative.

On peut également créer d'autres fonctions composées à partir de la fonction racine de base. Nous élaborerons ce concept plus en détails dans la section sur les transformations de fonctions. Pour l'instant, dans le graphique Geogebra, on s'intéresse aux fonctions de la forme

$f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k$

Déplacez les différents curseurs « a », « b », « h » et « k ».

• Le paramètre $\pmb{a}$ déforme verticalement la fonction racine de base. De plus, si $a$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x.$
• Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = a\sqrt{x}$ une translation horizontale et le paramètre $\pmb{k}$, une translation verticale.
• Si $a>0$, le point $(h,k)$ est un minimum et si $a$, le point $(h,k)$ est un maximum.
• Le paramètre $\pmb{b}$ déforme horizontalement la fonction racine de base. Par contre, si $b$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à la droite verticale passant par le sommet $(h,k)$.
• La règle de transformation appliquée au graphique de la fonction de base est : $(x,y) \rightarrow \left({\frac{x}{b}+h,ay+k}\right)$. Tous les points $(x,y)$ de la fonction $\sqrt{x}$ sont transformés par cette règle.
  Dans le graphique Geogebra, cela est illustré par le point $(1,1)$ de la fonction $\sqrt{x}$ pointillée qui s'est déplacé au point P.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = -2\sqrt{x-3} + 1$.

On a que $a=-2$ et $b=1>0$. La courbe est donc décroissante, car elle a subit une réflexion verticale. On remarque aussi que tous les points du graphique $-2\sqrt{x}$ subissent un déplacement vers la droite de $3$ et vers le haut de $1$. L'extrémité $(0,0)$ s'est donc déplacé au point $(3,1)$. Il s'agit d'un maximum.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = -2\sqrt{6-3x} + 4$.

En effectuant une mise en évidence, on a que $f(x) = -2\sqrt{-3(x-2)} + 4$. Ainsi, $a=-2$ et $b=-3$. La courbe est donc croissante, car elle a subit une réflexion verticale et une réflexion horizontale. De plus, le sommet $(0,0)$ s'est déplacé au point $(2,4)$. Il s'agit d'un minimum.

Exemples : Trouvons le domaine des fonctions suivantes.

a) Soit $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{-x^2+x+6}$.

Le domaine de cette fonction dépend des deux restrictions suivantes :

1. Le dénominateur doit être non nul, c'est-à-dire $-x^2+x+6\neq 0$. Trouvons ces valeurs en factorisant :

   $\begin{array}{ll} -x^2+x +6 &= -(x^2-x-6)\\ &= -(x-3)(x+2) \\&= (3-x)(x+2)\end{array}$.

   Ainsi, on veut que $x\neq -2$ et $x\neq 3$.

2. L'expression à l'intérieur de la racine carrée doit être non-négative, c'est-à-dire $x+1\geq 0 \Rightarrow x \geq -1$.

En combinant ces deux restrictions (voir la droite des réels ci-dessus), on obtient le domaine de $f$, soit $\text{dom }f = \left[-1,3\right[ \cup \left] 3, \infty \right[$. On remarque que $-2 < -1$ et il s'agit donc d'une valeur qui est déjà enlevée à cause de la deuxième restriction.

b) Soit $f(x) = \dfrac{x-5}{x+\sqrt{x+6}}$.

1. Le dénominateur doit être non nul, c'est-à-dire $x+\sqrt{x+6}\neq 0$.

   Pour trouver ces valeurs, nous allons résoudre l'équation $x+\sqrt{x+6} = 0$ en commençant par isoler la racine dans l'équation. Voici la démarche

   $\begin{array}{lll} x+\sqrt{x+6} = 0 &\Rightarrow \sqrt{x+6} = -x &\small{\text{; il faut que } x\leq 0 \text{ pour que }\sqrt{x+6} \text{ soit positive}}\\ &\Rightarrow \left(\sqrt{x+6}\right)^2 = (-x)^2 &\small\text{; élevons au carré} \\ &\Rightarrow x+6 = x^2 & \\&\Rightarrow 0 = x^2-x-6 & \\ &\Rightarrow 0 = (x-3)(x+2) &\small\text{; factorisons}\\ &\Rightarrow \small{\text{si }x=3 \text{ ou } x=-2} &\small{\text{; seule }x=-2 \text{ est une solution, car }\leq 0.}\\ &&\;\small{\text{si }x=3\text{, on aurait une valeur impossible :}\sqrt{3+6}=-3 }\end{array}$

   Ainsi, on veut que $x\neq -2$, afin que le dénominateur soit non nul.

2. L'expression à l'intérieur de la racine carrée doit être non-négative, c'est-à-dire $x+6\geq 0 \Rightarrow x \geq -6$.

En combinant les deux restrictions, on obtient : $\text{dom }f = \left[-6,-2\right[ \cup \left] -2,\infty\right[$.

Exemple : Soit la fonction $f(x) = \sqrt{1-\dfrac{5}{x+4}}$.

Pour respecter la première restriction, il faut résoudre l'inéquation $1 -\dfrac{5}{x+4} \geq 0$. En transformant cette inéquation sous la forme $\frac{P}{Q}\geq 0$, on obtient :

$\begin{array}{ll} 1-\dfrac{5}{x+4} \geq 0 & \Rightarrow \dfrac{(x+4)-5}{x+4} \geq 0\\[0.8em] &\Rightarrow \dfrac{x-1}{x+4} \geq 0 \end{array}$

Sachant que le numérateur $(x-1)$ est nul si $x=1$ et que le dénominateur $(x+4)$ est nul si $x=-4$, on peut remplir le tableau de signes suivant pour résoudre l'inéquation.

On obtient que $\text{dom }f = \left]-\infty,-4\right[ \cup \left[1,\infty\right[$. On remarque que $x=-4$ n'appartient pas au domaine de $f$ cette valeur entraîne un dénominateur nul.

Voici un graphique Geogebra pour illustrer la fonction et le calcul d'images pour certaines valeurs de $x$. Déplacez le curseur b avec votre souris pour voir la valeur de l'image f(b). En même temps, le point bleu $(b,f(b))$ se déplace sur la courbe de la fonction $f(x)=\sqrt{1-\frac{5}{x+4}}$. Remarquez les valeurs de b qui font partie du domaine de $f$.