Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

Le domaine est $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

1. On trouve les zéros des trois facteurs $x$, $\left({x+1}\right)$ et $\left({2-x}\right)$, soit $x=0$, $x=-1$ et $x=2$:
• Si $x=0$ et $x=-1$, on a que $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)} = 0$
• Si $x=2$, on a que $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$ n'existe pas $(\nexists)$
2. On construit le tableau de signes en suivant ces étapes :
   
   
   1. La première ligne représente le domaine de l'expression.
   2. On insère une colonne pour chacun des zéros des facteurs en les plaçant dans l'ordre croissant.
   3. On insère ensuite une colonne pour représenter les intervalles contenant les nombres réels avant, entre et après les zéros.
   4. On construit une ligne pour chacun des facteurs.
   5. La dernière ligne est attribuée à l'expression globale.
   
   
   

   	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,0}\right[$	$0$	$\left]{0,2}\right[$	$2$	$\left]{2,\infty}\right[$
   $x$
   $x+1$
   $2-x$
   $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$

   
   
   
3. Pour chacune des lignes des facteurs, on inscrit le nombre $0$ dans la colonne correspondante à son zéro.
   
   

   	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,0}\right[$	$0$	$\left]{0,2}\right[$	$2$	$\left]{2,\infty}\right[$
   $x$				$0$
   $x+1$		$0$
   $2-x$						$0$
   $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$

   
   
   
4. On détermine le signe de chaque facteur en résolvant les inéquations appropriées. On reporte ensuite les résultats sur la ligne réservée de chaque facteur en y inscrivant le symbole $+$ ou $-$ dans les cases correspondant aux intervalles lorsque le facteur prend une valeur positive ou négative.
   
   
   • Facteur $x$ :

     $x$ est positif $(+)$ si $\pmb{x>0}$
     $x$ est négatif $(-)$ si $\pmb{x$

   • Facteur $x+1$ :

     $x+1$ est positif $(+)$ si $x + 1>0 \Rightarrow \pmb{x > -1}$
     $x+1$ est négatif $(-)$ si $x + 1$

   • Facteur $2-x$ :

     $2-x$ est positif $(+)$ si $2-x>0 \Rightarrow \pmb{x$
     $2-x$ est négatif $(-)$ si $2-x2}$

   	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,0}\right[$	$0$	$\left]{0,2}\right[$	$2$	$\left]{2,\infty}\right[$
   $x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $2-x$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
   $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$

   
   
   
5. On remplit la dernière ligne du tableau en $y$ indiquant pour chaque intervalle :
   
   • le nombre $0$ si le produit et quotient des facteurs est nul;
   • le symbole $\nexists$ si la valeur de $x$ n'appartient pas au domaine;
   • le signe du produit et quotient des facteurs en respectant la règle des signes.
   
   
   

   	$\left]{-\infty,-1}\right[$	$-1$	$\left]{-1,0}\right[$	$0$	$\left]{0,2}\right[$	$2$	$\left]{2,\infty}\right[$
   $x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
   $x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
   $2-x$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$
   $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)}$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$\nexists$	$-$

   
   
   
6. On peut maintenant interpréter le tableau de signes afin de résoudre l'inéquation de départ. On a que $\dfrac{x\left({x+1}\right)}{\left({2-x}\right)} \geq 0$ pour les valeurs de $x$ pour lesquelles on a inscrit le signe $+$ ou le nombre $0$.
   
   

   Ainsi, l'ensemble solution de l'inéquation est $\boxed{\left]{-\infty,-1}\right] \cup \left[{0,2}\right[}$.