2.2 Les fonctions algébriques: Fonction rationnelle

4. Fonction rationnelle

Les fonctions rationnelles sont des fonctions définies par un quotient de deux polynômes, soit

où

$\text{dom}f = \left\{{x \in \mathbb{R} \vert Q(x) \neq 0}\right\}$ .

Tout comme les fonctions puissances, les graphiques des fonctions rationnelles peuvent prendre différentes formes selon les degrés des polynômes. Tracer le graphique de telles fonctions peut s'avérer complexe. Le cours de Calcul différentiel nous permettra d'analyser plusieurs caractéristiques de ces courbes dont les intervalles de croissance et de décroissance, les extremums et le sens de la concavité.

À partir du graphique GeoGebra suivant, nous allons tout d'abord étudier en détails les caractéristiques des fonctions rationnelles de base de la forme

$f(x) = \dfrac{1}{x^n}$ , où $a \neq 0$ .

Déplacez le curseur vertical à gauche afin de remarquer l'effet sur le graphique de l'augmentation ou de la diminution de l'exposant. Les premières valeurs de $n$ correspondent aux fonctions suivantes :

Pour $n = 1$ , c'est la fonction inverse $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .
Pour $n = 2$ , c'est la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ .

Voici quelques caractéristiques communes de ces fonctions.

$\text{dom}f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
Toutes ces fonctions ont comme asymptote verticale $x = 0$ et comme asymptote horizontale $y = 0$ . Le centre du graphique est le point d'intersection des deux asymptotes, soit le point $(0,0)$ .
Elles n'ont aucun zéro ni ordonnée à l'origine.
Elles possèdent aucun minimum ni maximum.

On peut également créer d'autres fonctions composées à partir des fonctions rationnelles de base. Nous élaborerons ce concept plus en détail dans la section sur les transformations de fonctions. Pour l'instant, dans le graphique Geogebra, on s'intéresse aux fonctions de la forme

$f(x) = \dfrac{a}{\left({x-h}\right)^n} + k$

Déplacez les différents curseurs « a », « h » et « k ».

Le paramètre $\pmb{a}$ influe sur la pente de la courbe. Si $a$ change de signe, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des $x.$

Ex. : Choisissez la fonction de base $f(x) = \dfrac{a}{x}$ . Si $a > 0$ , la fonction est décroissante sur son domaine et est positive sur l'intervalle $\left]{0, \infty}\right[$ . Si $a < 0$ , la fonction est croissante sur son domaine et est positive sur l'intervalle $\left]{-\infty, 0}\right[$ .

Le paramètre $\pmb{h}$ fait subir à la fonction $f(x) = \dfrac{a}{x^n}$ une translation horizontale et le paramètre $\pmb{k}$ , une translation verticale.

Ex. : Choisissez la fonction $f(x) = \dfrac{2}{\left({x+1}\right)^2} - 2$ . On remarque que tous les points du graphique de base $\dfrac{2}{x^2}$ subissent un déplacement vers la gauche de $1$ et vers le bas de $2$ . Le centre $(0,0)$ se déplace donc au point $(-1,-2)$ . Ainsi, $x = -1$ est l'asymptote verticale et $y = -2$ est l'asymptote horizontale.