1.4 Les équations: Équations contenant des valeurs absolues

5. Équations contenant des valeurs absolues

La valeur absolue d'un nombre $x$ donne toujours un résultat positif. Par exemple, $\vert 14 \vert = 14$ et $\vert -6 \vert = 6$ . Par définition, la fonction $\vert x \vert$ laisse positif tout nombre $x$ qui est déjà positif et rend positif tout nombre $x$ qui est négatif. On peut aussi la définir de la façon suivante :

$\lvert x\rvert=\left\lbrace\begin{array}{rll} x & \text{si} & x \geq 0 \\ -x & \text{si} & x < 0 \end{array}\right.$

Cette façon de définir la valeur absolue est équivalente. En effet, dans les deux cas on obtient $\vert -6 \vert = 6$ et $-(-6) = 6$ comme le montre le graphique Geogebra suivant. Déplacez le point vertsur la droite des réels et remarquez la définition de la valeur absolue selon que le nombre $x$ est positif ou négatif.

Pour résoudre une équation contenant des valeurs absolues, on doit considérer deux cas possibles : si l'expression à l'intérieur est positive et si elle est négative.

La résolution des formes d'équations suivantes respecte ce principe.

Résolution d'une équation de la forme $\pmb{\lvert{f(x)}\rvert = c}$ où $\pmb{c}$ est une constante positive,

$\lvert{f(x)}\rvert = c \Leftrightarrow f(x) = c \text{ ou } f(x) = -c$

Résolution d'une équation de la forme $\pmb{\lvert{f(x)}\rvert = g(x)}$

$\lvert{f(x)}\rvert = g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) \text{ ou } f(x) = -g(x)$
On vérifie les solutions dans l'équation initiale et on rejette celles qui ne vérifient pas l'équation.

Comme le membre de droite n'est pas une constante mais contient une variable $x$ , la valeur du membre de droite peut donc devenir négative, ce qui est interdit. Par conséquent, il est essentiel de vérifier si les solutions transforment l'équation en une égalité vraie.

Exemples : Résoudre les équations suivantes.

a) $\vert 3x + 6 \vert = 3$

Selon la définition de la valeur absolue, résoudre cette équation revient à résoudre les deux équations suivantes :

$\begin{array}{rllcrll}3x+6&=3 &\small\text{; si }3x+6\ge 0&\quad\text{ et }\quad&3x+6&=-3&\small\text{; si }3x+6$

Les deux solutions de cette équation sont $\boxed{x=-1}$ et $\boxed{x=-3}$ . On peut même le vérifier en remplaçant ces deux valeurs dans l'équation de départ.

Si $x=-1,$ on a $\vert 3(-1)+6\vert = \vert 3\vert = 3$ et si $x=-3,$ on a $\vert 3(-3)+6\vert = \vert -3 \vert = 3$ .

b) $\lvert{x+3}\rvert = 2x$

Étant donné que $\vert x+3\vert$ est toujours positif, il faut aussi que $2x$ soit toujours positif. Ainsi, on a comme restriction : $x\ge 0$ . On peut maintenant résoudre les deux équations suivantes :