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4. Équations contenant des racines carrées

Pour résoudre une équation contenant des racines carrées, on peut appliquer les principes suivants :

  1. Isoler un des termes comportant une racine carrée.
  2. Élever au carré les deux membres de chaque côté de l'égalité.
  3. Résoudre l'équation.

Mais attention, l'équation résultante n'est pas toujours équivalente à celle de départ. En effet, en élevant au carré les deux membres de l'équation, on peut créer des solutions fausses \Big(-3\ne 3, mais (-3)^2=3^2\Big).

Il faut donc toujours vérifier chacune des solutions possibles dans l'équation initiale afin d'éliminer les solutions fausses.

Par exemple :

On veut résoudre \sqrt{2x+1} = \sqrt{x-3}

En élevant chaque membre au carré, on obtient :

\begin{array}{rl}(\sqrt{2x+1})^2&=(\sqrt{x-3})^2\\\Rightarrow 2x+1&= x-3\\\Rightarrow 2x-x&=-3-1\\\Rightarrow x&=-4\end{array}

Or, en remplaçant x=-4 dans l'équation initiale, on obtient des racines carrées d'un nombre négatif, ce qui n'est pas défini. En effet,

\sqrt{2(-4)+1} = \sqrt{-7} et \sqrt{-4-3}=\sqrt{-7}

Ainsi, x=-4 n'est pas une solution et par conséquent cette équation n'a pas de solution réelle.


Exemples : Résoudre les équations suivantes.

  • Exemple 1 : \sqrt{x} + 3 = x - 9
  • Exemple 2 : \sqrt{x} - \sqrt{x-9}=1

Exercices formatifs WeBWorK

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