Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

En faisant subir certaines transformations aux graphiques des fonctions de base, on obtient les graphiques de fonctions de la même famille. Cela peut s'avérer utile lorsqu'on veut tracer rapidement le graphique de telles fonctions.

Les différentes transformations que nous allons étudier sont : la translation, la dilatation, la contraction et la réflexion. La nature de la transformation du graphique d'une fonction $y=f(x)$ dépend des différents paramètres que l'on ajoute à sa règle initiale.

Translation

Voici le rôle que jouent les paramètres $h$ et $k$ sur la translation du graphique de la fonction $y=f(x)$.

Soit la fonction $y=f(x-h)+k$.

• Le paramètre h fait subir à la fonction $y=f(x)$ un déplacement horizontal.
  • Si $h>0$, le déplacement est vers la droite.
  • Si $h$, le déplacement est vers la gauche.
• Le paramètre k fait subir à la fonction $y=f(x)$ un déplacement vertical.
  • Si $k>0$, le déplacement est vers le haut.
  • Si $k$, le déplacement est vers le bas.

Contraction, dilatation et réflexion

Les paramètres $a$ et $b$ font subir au graphique de la fonction $y=f(x)$ des transformations par dilatation, contraction et réflexion.

Soit la fonction $y=af(bx)$.

• Le paramètre b fait subir à la fonction $y=f(x)$ une déformation horizontale.
  • Si $|b|>1$, le graphique subit une contraction.
  • Si $|b|$, le graphique subit une dilatation.
  • Si $b=-1$, le graphique subit une réflexion par rapport à l'axe des $y$.
• Le paramètre a fait subir à la fonction $y=f(x)$ une déformation verticale.
  • Si $|a|>1$, le graphique subit une dilatation.
  • Si $|a|$, le graphique subit une contraction.
  • Si $a=-1$, le graphique subit une réflexion par rapport à l'axe des $x$.

Si nous combinons les quatre paramètres dans une seule fonction, nous obtenons une fonction ayant pour règle

$g(x) = af\left({b(x-h)}\right) + k$.

Le graphique de cette fonction se déduit du graphique de la fonction de base $y=f(x)$ par la transformation

$(x,y) \rightarrow \left({\dfrac{x}{b}+h,ay+k}\right)$

Exemples : À l'aide du graphique de la fonction de base associée, tracer les graphiques suivants.

•  : $y=\sqrt{-2(x-1)}$
•  : $y=-3\sqrt{\frac{1}{2}x+2}+5$
•  : $y=4\cos{\left({\frac{1}{2}(x-\pi)}\right)}-2$

Transformation des fonctions algébriques de base

Dans les sections précédentes, nous avons présenté les caractéristiques principales des graphiques de plusieurs fonctions algébriques, en utilisant l'application Geogebra. Vous pouvez explorer les effets des paramètres a, b, h et k sur ces graphiques en cliquant sur les liens.

• Fonction puissance : $y=a\left({x-h}\right)^n+k$
• Fonction rationnelle : $y=\dfrac{a}{\left({x-h}\right)^n} + k$
• Fonction racine : $y=a\sqrt{b(x-h)}+k$
• Fonction valeur absolue : $y=a\lvert{b\left({x-h}\right)}\rvert + k$