2.4 Opérations sur les fonctions

En faisant subir certaines transformations aux graphiques des fonctions de base, on obtient les graphiques de fonctions de la même famille. Cela peut s'avérer utile lorsqu'on veut tracer rapidement le graphique de telles fonctions.

Les différentes transformations que nous allons étudier sont : la translation, la dilatation, la contraction et la réflexion. La nature de la transformation du graphique d'une fonction $y=f(x)$ dépend des différents paramètres que l'on ajoute à sa règle initiale.

Translation

Voici le rôle que jouent les paramètres $h$ et $k$ sur la translation du graphique de la fonction $y=f(x)$.

Soit la fonction $y=f(x-h)+k$.

• Le paramètre h fait subir à la fonction $y=f(x)$ un déplacement horizontal.
  • Si $h>0$, le déplacement est vers la droite.
  • Si $h$, le déplacement est vers la gauche.
• Le paramètre k fait subir à la fonction $y=f(x)$ un déplacement vertical.
  • Si $k>0$, le déplacement est vers le haut.
  • Si $k$, le déplacement est vers le bas.

Contraction, dilatation et réflexion

Les paramètres $a$ et $b$ font subir au graphique de la fonction $y=f(x)$ des transformations par dilatation, contraction et réflexion.

Soit la fonction $y=af(bx)$.

• Le paramètre b fait subir à la fonction $y=f(x)$ une déformation horizontale.
  • Si $|b|>1$, le graphique subit une contraction.
  • Si $|b|$, le graphique subit une dilatation.
  • Si $b=-1$, le graphique subit une réflexion par rapport à l'axe des $y$.
• Le paramètre a fait subir à la fonction $y=f(x)$ une déformation verticale.
  • Si $|a|>1$, le graphique subit une dilatation.
  • Si $|a|$, le graphique subit une contraction.
  • Si $a=-1$, le graphique subit une réflexion par rapport à l'axe des $x$.

Si nous combinons les quatre paramètres dans une seule fonction, nous obtenons une fonction ayant pour règle

$g(x) = af\left({b(x-h)}\right) + k$.

Le graphique de cette fonction se déduit du graphique de la fonction de base $y=f(x)$ par la transformation

$(x,y) \rightarrow \left({\dfrac{x}{b}+h,ay+k}\right)$

Exemples : À l'aide du graphique de la fonction de base associée, tracer les graphiques suivants.

•  : $y=\sqrt{-2(x-1)}$
•  : $y=-3\sqrt{\frac{1}{2}x+2}+5$
•  : $y=4\cos{\left({\frac{1}{2}(x-\pi)}\right)}-2$

Transformation des fonctions algébriques de base

Dans les sections précédentes, nous avons présenté les caractéristiques principales des graphiques de plusieurs fonctions algébriques, en utilisant l'application Geogebra. Vous pouvez explorer les effets des paramètres a, b, h et k sur ces graphiques en cliquant sur les liens.

• Fonction puissance : $y=a\left({x-h}\right)^n+k$
• Fonction rationnelle : $y=\dfrac{a}{\left({x-h}\right)^n} + k$
• Fonction racine : $y=a\sqrt{b(x-h)}+k$
• Fonction valeur absolue : $y=a\lvert{b\left({x-h}\right)}\rvert + k$

La composition de fonctions est un processus qui combine deux fonctions pour en obtenir une nouvelle. La règle d'une fonction composée s'obtient par substitution.

Soient les fonctions $g$ et $f$, la fonction composée de $f$ et $g$, notée $f \circ g$ (« $f$ rond $g$ »), est définie par

$\left({f \circ g}\right)(x) = f\left({g(x)}\right)$

Prenons, par exemple, deux fonctions $f$ et $g$ définies respectivement par $f(x) =\dfrac{1}{x-4}$ et $g(x)=x^2$. Lorsqu'on veut calculer l'image de $x=3$ par la fonction composée de $f$ et $g$, il faut d'abord calculer l'image de $3$ par la fonction $g$, soit $g(3)$, et ensuite calculer l'image de $g(3)$ par la fonction $f$, soit $f\left({g(3)}\right)$. Ainsi,

$g(3)=3^2=9 \Rightarrow f\left({g(3)}\right)=f(9)=\dfrac{1}{9-4}=\dfrac{1}{5}$

La règle de la fonction composée $f \circ g$ est obtenue en substituant $g(x)$ dans l'équation de la fonction $f$.

$(f \circ g)(x)=f\left({g(x)}\right) = f\left({x^2}\right) = \dfrac{1}{x^2-4}$

Domaine d'une fonction composée

Pour déterminer le domaine de la fonction composée $f \circ g$, il faut que $g$ soit définie pour les valeurs de $x$ qu'on lui donne, et que $f$ soit définie pour les valeurs de $g(x)$ qu'on lui donne.

Ainsi, pour que $f \circ g$ soit définie en $a$, c'est-à-dire que $f(g(a))$ existe, il faut respecter ces deux conditions :

1. $a$ doit appartenir au domaine de $g$.
2. $g(a)$ doit appartenir au domaine de $f$.

Dans l'exemple précédent, lorsque $x = -2$, on a $g(-2) = (-2)^2 = 4$, mais $f(x) = \dfrac{1}{x-4}$ n'est pas définie en 4, car il y a division par zéro. Ainsi $f(4)$ n'existe pas et par conséquent $f(g(-2)$ n'existe pas.

On a donc que $x=-2$ n'appartient pas au domaine de la fonction composée $f \circ g$ et, pour les mêmes raisons, on aura aussi que $x=2$ n'appartient pas au domaine.

Par conséquent, $\text{dom}f \circ g =\mathbb{R} \setminus \{-2,2\}$.

Exemple : Si $f(x) = \sqrt{x+2}$ et $g(x) = \dfrac{3}{x-1}$, déterminer la règle et le domaine des fonctions composées $f \circ g$ et $g \circ f$.

a) $(f \circ g)(x) =f\left({g(x)}\right)=f\left({\dfrac{3}{x-1}}\right) = \sqrt{\dfrac{3}{x-1}+2}$

1. Pour que $\dfrac{3}{x-1}$ soit définie, il faut que $x \neq 1$.

2. Pour que $\sqrt{\dfrac{3}{x-1}+2}$ soit définie, il faut que $\dfrac{3}{x-1}+2 \geq 0$, c'est-à-dire que $\dfrac{3}{x-1} \geq -2$, donc que $g(x) \geq -2$. Résolvons à l'aide d'un tableau de signes.

   $\begin{array}{ll} \dfrac{3}{x-1} + 2 \geq 0 & \Leftrightarrow \dfrac{3 + 2(x-1)}{x-1} \geq 0 \\[0.8em] {} & \Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{x-1} \geq 0 \end{array}$

   	$\left]{-\infty,-\frac{1}{2}}\right[$	$-\frac{1}{2}$	$\left]{-\frac{1}{2},1}\right[$	$1$	$\left]{1,\infty}\right[$
   $\dfrac{2x+1}{x-1}$	$+$	$0$	$-$	$\not\exists$	$+$

Le domaine de $f \circ g$ est donc $\left]{-\infty,-\frac{1}{2}}\right] \cup \left]{1,\infty}\right[$.

---

b) $(g \circ f)(x) = g\left({f(x)}\right) = g\left({\sqrt{x+2}}\right) = \dfrac{3}{\sqrt{x+2}-1}$

1. Pour que $\sqrt{x+2}$ soit définie, il faut que $x \geq -2$.

2. Pour que $\dfrac{3}{\sqrt{x+2}-1}$ soit définie, il faut que $\sqrt{x+2}-1 \neq 0$, c'est-à-dire que $\sqrt{x+2} \neq 1$, donc que $f(x) \not= 1$. Résolvons.

   $\begin{array}{ll} \sqrt{x+2} \not= 1 & \Leftrightarrow \left({\sqrt{x+2}}\right)^2 \not= 1^2 \\[0.8em] {} & \Leftrightarrow x+2 \not= 1 \\[0.8em] {} & \Leftrightarrow x \not= -1 \end{array}$

Le domaine de $g \circ f$ est donc $\left[{-2,-1}\right[ \cup \left]{-1,\infty}\right[$.

Par ce dernier exemple, nous pouvons remarquer que

Exercices formatifs WeBWorK

Fonction composée

On utilise la réciproque d'une fonction $y = f(x)$ lorsqu'on veut exprimer la variable $x$ en fonction de la variable $y$, c'est-à-dire : $x=f^{-1}(y)$. Par contre, ce ne sont pas toutes les fonctions qui possèdent une fonction réciproque.

Comparons les deux diagrammes sagittaux des fonctions $f$ et $g$ ci-dessous. On observe que pour chaque valeur $y= f(x)$ de l'ensemble B, on associe une seule valeur $x$ de l'ensemble A. Ce n'est pas le cas pour la fonction $g$. En effet, $g(2)=4$ et $g(-2)=4$, ce qui implique qu'il existe deux valeurs de $x$ associées à la même valeur de $y$.

Ainsi, pour la fonction $g$, la relation qui associe les variables $y$ de l'ensemble B aux variables $x$ de l'ensemble A ne respecte pas la définition d'une fonction.

On dira que $f$ est une fonction injective, et donc possède une fonction réciproque, notée $f^{-1}$. La fonction $g$ quant à elle n'est pas injective et ne possède donc pas de fonction réciproque.

Une fonction est injective si elle n'associe pas la même valeur de $y=f(x)$ à deux valeurs distinctes de $x$.

Graphiquement, la fonction $f$ est injective si toutes droites horizontales coupent la courbe en un seul point d'intersection.

Nous pouvons maintenant définir la réciproque d'une fonction de la façon suivante :

Si $f$ est une fonction injective, alors la fonction réciproque de $f$, notée $f^{-1}$, est la fonction qui associe à la valeur $y=f(x)$, la valeur $x$. C'est-à-dire

$f^{-1}(y)=x$

$\Rightarrow \left({f^{-1} \circ f}\right)(x)=f^{-1}(f(x))=x$

de même $f\left({f^{-1}(x)}\right)=x$

De plus, on a que

$\text{dom }f^{-1} = \text{ima }f \text{ et } \text{ima }f^{-1} = \text{dom }f$.

Afin de trouver la règle de la fonction réciproque de $f$, il suffit de poser $x=f(y)$ et d'isoler la variable $y$.

Exemple

Déterminons si la fonction $f(x)=\left({x-1}\right)^3+2$ est injective. Si oui, trouvons la fonction réciproque de $f$.

Pour toutes valeurs $x_1 \not= x_2$, on a que $\left({x_1 -1}\right)^3+2 \not=\left({x_2 -1}\right)^3+2$. En effet, en observant le graphique, on remarque que deux valeurs différentes de $x$ ne peuvent pas avoir la même image. De plus, le test de la droite horizontale confirme que $f$ est injective.

Afin de trouver la fonction réciproque de $y = \left({x-1}\right)^3+2$ , procédons comme suit. Posons

$x = \left({y-1}\right)^3+2$

Isolons la variable $y$ dans l'équation.

$\begin{array}{rll} x-2 &=&\left({y-1}\right)^3 \\ \left({x-2}\right)^{1/3} & =&y-1 \\ \sqrt[3]{x-2}+1 &=&y \end{array}$

Ainsi, la fonction réciproque de $f$ est définie par $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}+1$.

De plus, la composition de la fonction $f$ et de la fonction réciproque $f^{-1}$ nous donne la formule de réciprocité souhaitée :

$\begin{array}{ll} (f^{-1} \circ f)(x) & = f^{-1}(f(x))\\ &=\sqrt[3]{\pmb{\Big({(x-1)^3+2}\Big)}-2}+1\\ &=\sqrt[3]{(x-1)^3}+1\\ &=x-1+1\\f^{-1}(f(x))&=x \end{array}$

Remplacer $x$ par $y$ pour trouver la fonction réciproque est également la méthode utilisée pour obtenir le graphique de $f^{-1}$ à partir du graphique de $f$.

Soit un point $(a,b)$ appartenant à la fonction $f$, alors par définition $f(a) = b$ si et seulement $f^{-1}(b) = a$. Par conséquent le point $(b,a)$ appartient à la fonction réciproque $f^{-1}$.

On remarque dans la figure ci-dessous que l'on obtient le point $(b,a)$ par une réflexion du point $(a,b)$ par rapport à la droite $y=x$.

Donc,

Nous pouvons illustrer cette dernière définition à partir de l'exemple précédant en traçant les graphiques de $f(x)=\left({x-1}\right)^3+2$ et de $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}+1$.

Fonction racine carrée définie comme réciproque de la fonction quadratique

On remarque que la fonction quadratique $y=x^2$ n'est pas une fonction injective sur son domaine, alors elle ne peut malheureusement pas avoir de fonction réciproque. En effet, pour une valeur de $y$, il existe deux valeurs de $x$ distinctes.

Par contre, si l'on définit $f(x) = x^2$ sur le domaine restreint $[{0, \infty}[$, elle possède alors une fonction réciproque déterminée ainsi :

À partir du graphique Geogebra suivant, vous pouvez étudier la construction du graphique de la fonction $y=\sqrt{x}$ à partir de la fonction $y=x^2$ où $x \geq 0$. Sa représentation correspond à la branche bleue de la parabole.

Exercices formatifs WeBWorK

Fonction réciproque