2.1 Les fonctions
- Relation et fonction
- Domaine et image
- Graphique d'une fonction
- Points d'intersection avec les axes
4. Points d'intersection avec les axes
Les points d'intersection avec les axes présentent un intérêt particulier pour l'analyse d'une fonction. Ces points sont appelés abcisse à l'origine et ordonnée à l'origine.
Abcisse à l'origine
Les points d'intersection du graphique d'une fonction avec l'axe horizontal sont tous les points du graphique de la forme .
De plus, la valeur est un zéro de la fonction , car . Ainsi, le nombre de points d'intersection du graphique avec l'axe des est égal au nombre de zéros de la fonction. On peut en déduire que si une fonction n'a aucun zéro, son graphique ne coupe jamais l'axe horizontal.
De plus, par le théorème de factorisation,
est un zéro de la fonction est un facteur de .
Par conséquent, si une fonction est définie par un produit de facteurs, on peut facilement trouver ses zéros.
Exemple :
Trouvons, si possible, les zéros de la fonction .
Pour trouver les zéros de la fonction , il suffit de trouver les solutions de l'équation qui appartiennent au domaine.
Étant donné que ces deux valeurs appartiennent au domaine, la fonction possède deux zéros : et .
Les points et sont donc les points où la courbe croise l'axe des .
Ordonnée à l'origine
Ce point d'intersection est unique, car la valeur ne peut avoir qu'une seule image par la fonction .
Exemple :
Soit la fonction . Trouvons, si possible, tous les zéros de la fonction sachant que le point est une abscisse à l'origine.
Il faut d'abord factoriser le polynôme afin de résoudre l'équation .
Étant donné que est une solution de l'équation, alors par le théorème de factorisation, est un facteur de . Nous obtenons donc que
, où est un polynôme de degré .
Nous pouvons trouver le polynôme en effectuant la division suivante:
On peut donc écrire .
Or, le polynôme est non factorisable, car son discriminant
Alors est la seule solution de l'équation .
Donc la fonction possède comme seul zéro .
De plus, l'ordonnée à l'origine est . Ainsi, le graphique coupe l'axe des au point .