Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

Exemple : Simplifions la fraction complexe suivante : $\dfrac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$.

On peut réécrire cette expression comme

$\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}\right)\div\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$

L'ordre de priorité des opérations nous oblige à effectuer tout d'abord l'intérieur des parenthèses $\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}\right)$ et $\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$. En mettant les deux expressions sur un dénominateur commun, on obtient :

$\begin{array}{lll}\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}\right)\div\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)&=\left(\dfrac{x-(x+2)}{(x+2)\cdot x}\right)\div\left(\dfrac{x^2+1}{x^2}\right)&\\&=\left(\dfrac{\cancel{x}-\cancel{x}-2}{(x+2)\cdot x}\right)\times\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}\right)&\small\text{; on multiplie par l'inverse du dénominateur}\\&=\dfrac{-2\cdot x^2}{x(x+2)\cdot (x^2+1)}&\small\text{; on multiplie les numérateurs et les dénominateurs}\end{array}$

On a effectué la division en multipliant la première fraction par l'inverse de la deuxième. Il ne reste qu'à simplifier la fraction en divisant par $x$, où $x\ne 0$.

$\dfrac{-2\cdot \cancel{x}\cdot x}{\cancel{x}(x+2)(x^2+1)}=\dfrac{-2x}{(x+2)(x^2+1)}$