1.3 Les fractions rationnelles

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Livre:	1.3 Les fractions rationnelles

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Date:	samedi 18 mai 2024, 09:05

Description

Introduction
Simplification de fractions rationnelles
Opérations sur les fractions rationnelles
Simplification de fractions complexes

Table des matières

1. Introduction
2. Simplification de fractions rationnelles
3. Opérations sur les fractions rationnelles
4. Simplification de fractions complexes

1. Introduction

On appelle fraction rationnelle toute expression de la forme $\frac{P}{Q}$ , où $P$ et $Q$ sont des polynômes et $Q \neq 0.$

$\dfrac{3{x^2}-5x + 3}{2x+7}$ est une fraction rationnelle.
$\dfrac{8{x^5}-17x+6}{\sqrt{x-2}}$ n'est pas une fraction rationnelle, car son dénominateur n'est pas un polynôme.

Le domaine d'une fraction rationnelle est l'ensemble de toutes les valeurs réelles $\left({\mathbb{R}} \right)$ telles que le dénominateur est $\neq 0.$

Le domaine de la fraction $\dfrac{{x^2}-9}{{x^2}-4}$ est $\mathbb{R} \setminus \left\{ {-2,2} \right\}$ .

En effet, le dénominateur ${x^2} - 4$ doit être non nul.

Si on résout l'équation ${x^2} - 4 = 0$ par la factorisation :

$\begin{array}{c}\left({x+2}\right) \left({x-2}\right) = 0 \Leftrightarrow x+2 = 0 \text{ ou } x-2=0 \\ \Rightarrow x = -2 \text{ ou } x=2\end{array}$

On obtient que ${x^2}-4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -2$ et $x \ne 2$ .

2. Simplification de fractions rationnelles

Simplifier une fraction signifie diviser le numérateur et le dénominateur par un même facteur. Il faut donc exprimer le numérateur et le dénominateur sous la forme d'un produit afin de permettre cette simplification.

$\pmb{ \text{ Si } a \ne 0 \Rightarrow \dfrac{ab}{ac} = \dfrac{b}{c} }$

Pour simplifier une fraction rationnelle, il faut :

Factoriser son numérateur et son dénominateur.
Trouver son domaine.
Déterminer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
Diviser le numérateur et le dénominateur par ces facteurs communs.

Exemples : Simplifions la fraction $\dfrac{x^2-4x-12}{36 - {x^2}}$ .

On factorise le numérateur et le dénominateur :

$\dfrac{x^2-4x-12}{36-x^2} = \dfrac{(x-6)(x+2)}{(6-x)(6+x)}$

Son domaine est donc : $\mathbb{R}\setminus \lbrace -6,6\rbrace$

On remarque que les facteurs $(x-6)$ et $(6-x)$ sont opposés : $6-x=-x+6=-(x-6)$

On obtient alors : $\dfrac{(x-6)(x+2)}{-(x-6)(x+6)}$

On peut diviser le numérateur et le dénominateur par le facteur commun $(x-6)$ . Cette division est possible, car $x=6$ n'appartient pas au domaine, $x-6\ne 0$ .

Par conséquent, $\dfrac{x^2-4x-12}{36-x^2}= \dfrac{\cancel{(x-6)}(x+2)}{-\cancel{(x-6)}(x+6)}=\dfrac{x+2}{-(x+6)}$ si $x\ne -6$ et $x\ne 6$ .

Exemples : Simplifions, si possible, les fractions suivantes.

3. Opérations sur les fractions rationnelles

$\blacktriangleright$ L'addition et la soustraction

Pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles, il faut :

Transformer chacune des fractions sur un dénominateur commun.
Additionner (ou soustraire) les numérateurs et diviser par le dénominateur commun.
Simplifier la fraction, si possible.

Exemple : Effectuons l'addition suivante : $\dfrac{x-1}{x^3+3x^2} + \dfrac{x+4}{2x^2+5x-3}$ .

On factorise tout d'abord les dénominateurs afin de trouver un dénominateur commun :

$\dfrac{x-1}{x^3+3x^2} + \dfrac{x+4}{2x^2+5x-3}=\dfrac{x-1}{x^2(x+3)}+\dfrac{x+4}{(2x-1)(x+3)}$

Le domaine de cette fraction est donc : $\mathbb{R}\setminus\lbrace -3,0,\frac{1}{2}\rbrace$ .

On ramène les fractions sur le dénominateur commun : $x^2(x+3)(2x-1)$

$\begin{array}{ll} \dfrac{x-1}{x^2(x+3)}+\dfrac{x+4}{(2x-1)(x+3)}&\\=\dfrac{(x-1)\pmb{(2x-1)}}{x^2(x+3)\pmb{(2x-1)}}+\dfrac{\pmb{x^2}(x+4)}{\pmb{x^2}(2x-1)(x+3)}&\\=\dfrac{(x-1)(2x-1)+x^2(x+4)}{x^2(x+3)(2x-1)}&\small\text{; on additionne les numérateurs}\\=\dfrac{2x^2-x-2x+1+x^3+4x^2}{x^2(x+3)(2x-1)}&\\=\boxed{\dfrac{x^3+6x^2-3x+1}{x^2(x+3)(2x-1)}}&\small\text{; on simplifie le numérateur}\end{array}$

$\blacktriangleright$ La multiplication et la division

Pour multiplier deux fractions rationnelles, il faut multiplier leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux.
$\dfrac{P}{Q} \times \dfrac{R}{S} = \dfrac{PR}{QS}$
Pour diviser deux fractions rationnelles, il faut multiplier la première fraction par l'inverse de la deuxième.
$\dfrac{\dfrac{P}{Q}}{\dfrac{R}{S}} = \dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S} = \dfrac{P}{Q} \times \dfrac{S}{R}$

Exemple : Effectuons la multiplication suivante : $\dfrac{x^2+6x-7}{2x^2-10x} \times \dfrac{x^4-5x^3}{x^2+x-2}$ .

Il faut factoriser et multiplier les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions. La factorisation permet de simplifier plus facilement.

$\begin{array}{ll}\dfrac{x^2+6x-7}{2x^2-10x} \times \dfrac{x^4-5x^3}{x^2+x-2}&\\=\dfrac{(x+7)(x-1)}{2x(x-5)} \times \dfrac{x^3(x-5)}{(x+2)(x-1)}&\small\text{; on factorise}\\=\dfrac{(x+7)(x-1)\cdot x^3(x-5)}{2x(x-5)\cdot(x+2)(x-1)}&\small\text{; on multiplie les numérateurs}\\=\dfrac{(x+7)\cancel{(x-1)}\cdot \cancel{x}^3\cancel{(x-5)}}{2\cancel{x}\cancel{(x-5)}\cdot(x+2)\cancel{(x-1)}}=\dfrac{(x+7)\cdot x^2}{2\cdot(x+2)}&\small{\text{; on divise par }x, (x-1), (x-5)}\end{array}$

On a pu diviser par les facteurs communs $x$ , $(x-1)$ et $(x-5)$ , car le domaine de cette fraction est : $\mathbb{R}\setminus\lbrace -2,0, 1,5\rbrace$ où $-2, 0, 1$ et $5$ sont les valeurs de $x$ pour lesquelles les dénominateurs $2x(x-5)$ et $(x+2)(x-1)$ sont nuls.

Par conséquent, $\dfrac{x^2+6x-7}{2x^2-10x} \times \dfrac{x^4-5x^3}{x^2+x-2}=\dfrac{x^2(x+7)}{2(x+2)}$ ou $\dfrac{x^3+7x^2}{2x+4}$ .

Exemples : Effectuons les opérations suivantes.

Exercices formatifs WeBWorK

Simplification et opérations sur les fractions rationnelles

4. Simplification de fractions complexes

On appelle une fraction rationnelle complexe une fraction à «plusieurs étages». Afin de simplifier ce type de fraction, il faut :

Respecter l'ordre de priorités des opérations.
Ne pas oublier qu'il y a toujours une parenthèse autour du dénominateur dans une
fraction : $\dfrac{P}{Q} = P \div \Bigl({Q}\Bigr)$

Exemple : Simplifions la fraction complexe suivante : $\dfrac{\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}$ .

On peut réécrire cette expression comme

$\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}\right)\div\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$

L'ordre de priorité des opérations nous oblige à effectuer tout d'abord l'intérieur des parenthèses $\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}\right)$ et $\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$ . En mettant les deux expressions sur un dénominateur commun, on obtient :

$\begin{array}{lll}\left(\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{1}{x}\right)\div\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)&=\left(\dfrac{x-(x+2)}{(x+2)\cdot x}\right)\div\left(\dfrac{x^2+1}{x^2}\right)&\\&=\left(\dfrac{\cancel{x}-\cancel{x}-2}{(x+2)\cdot x}\right)\times\left(\dfrac{x^2}{x^2+1}\right)&\small\text{; on multiplie par l'inverse du dénominateur}\\&=\dfrac{-2\cdot x^2}{x(x+2)\cdot (x^2+1)}&\small\text{; on multiplie les numérateurs et les dénominateurs}\end{array}$

On a effectué la division en multipliant la première fraction par l'inverse de la deuxième. Il ne reste qu'à simplifier la fraction en divisant par $x$ , où $x\ne 0$ .