1.1 Les polynômes et les racines: Racines et exposants fractionnaires

3. Racines et exposants fractionnaires

La racine n-ième du nombre réel $a$ , notée $\sqrt[n]{a}$ , est un nombre réel $b$ tel que

${b^n}=a$ , où l'exposant

$n$ est un entier

$\geq 2$ .

Par exemple :

3 est la racine 4-ième de 81, car on peut écrire $3^4=81$ .
Comme $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{2^5}=-\frac{1}{32}$ , alors on dira que $-\frac{1}{2}$ est la racine 5-ième de $-\frac{1}{32}$ .

Racines paires

Pour calculer la racine n-ième paire d'un nombre $a$ , il faut respecter ces deux règles :

Le nombre $a$ ne doit pas être négatif, c'est-à-dire que $a\geq 0$ .
Le nombre $b$ , qui est la racine n-ième de $a$ , ne doit pas être négatif non plus.

Si $n$ est pair, on a alors

$\sqrt[n]{a} =b$ si $a \geq 0$ et $b \geq 0$ .

En effet, si $a$ , alors $\sqrt[n]{a}$ n'existe pas pour les entiers $n$ pairs. Par exemple, $\sqrt{-36}=b$ n'existe pas, car il n'existe aucun nombre réel $b$ tel que $b^2=-36$ .

De plus, même si $(-2)^2=4$ et que $2^2=4$ , on dira que $\sqrt{4} = 2$ , soit la racine positive de 4. Il ne faut jamais écrire $\sqrt{4}=-2$ , car la racine carrée doit être une fonction par définition, c'est-à-dire qu'à toute valeur de $x$ doit correspondre une seule image $\sqrt{x}$ . Cette notion est expliquée plus en détails dans la section sur les fonctions , mais la figure ci-contre illustre bien ce cas.

Racines impaires

Contrairement à la racine paire, la racine n-ième impaire d'un nombre $a$ est toujours définie. Dans ce cas, on a

$\sqrt[n]{a} =b$ où $a$ est un nombre réel.

Par exemple, on aura $\sqrt[3]{8} = 2$ , car $2^3 = 8$ et $\sqrt[3]{-8} = -2$ , car $(-2)^3=-8$ . Ainsi, -2 est la racine cubique de -8 et 2 est la racine cubique de 8. Remarquons que la racine n-ième impaire d'un nombre négatif est un nombre négatif, et que la racine n-ième d'un nombre positif est un nombre positif. Ils sont donc toujours du même signe.

Exposants fractionnaires

Certaines propriétés s'appliquent aux exposants fractionnaires. Elles servent à simplifier plusieurs expressions contenant des radicaux.

Propriétés

Soit $n$ et $m$ des entiers $\ge 2$ .

$\begin{array}{lll}1.&\sqrt[n]{a}=a^{1/n} &\text{ex. }\sqrt[5]{32}=32^{1/5}\\2.&\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m &\text{ex. } 8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=(2)^2=4\\3.&\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\text{ (voir note *)}&\text{ex. }\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{8\cdot 5}=\sqrt[3]{8}\sqrt[3]{5}=2\sqrt[3]{5}\\4.&\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\text{ (voir note *)}&\text{ex. }\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\\5.&\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}&\text{ex. } \sqrt[3]{\sqrt{125}}=\sqrt[6]{125}\\6.&\sqrt[n]{a^n}=a\text{ si n est impair}&\text{ex. } \sqrt[3]{(-2)^3}=-2\\7.&\sqrt[n]{a^n}=|a|\text{ si n est pair}&\text{ex. } \sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=|-6|=6\end{array}$

* Note : Si $n$ est pair, il faut s'assurer que $a$ et $b$ sont tous deux positifs avant de décomposer le produit ou le quotient. Par exemple, on peut écrire $20=4\times 5$ ou $20 = -4\times -5$ . Mais $\sqrt{20} = \sqrt{-4\times -5}$ ne peut pas être décomposée en $\sqrt{-4}\sqrt{-5}$ , car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. On ne pourrait pas appliquer la propriété 3 dans ce cas.