1.1 Les polynômes et les racines

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Livre:	1.1 Les polynômes et les racines

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Date:	samedi 18 mai 2024, 08:39

Description

Définitions
Opérations sur les polynômes
Racines et exposants fractionnaires

Table des matières

1. Définitions
2. Opérations sur les polynômes
3. Racines et exposants fractionnaires

1. Définitions

$\bullet$ Un monôme est une expression algébrique formée du produit entre une constante réelle $\left( {\mathbb{R}} \right)$ et une ou plusieurs variables. Chacune de ces variables est affectée d’un exposant entier positif ou nul $\left( {\mathbb{N}} \right)$ .

$2x^7\quad,\quad- 10xy^2\quad,\quad\frac{1}{3}abc^3\quad$ et $\quad\sqrt{2}\quad$ sont des monômes.

$\dfrac{2}{x}\quad,\quad 3x^{ - 2}y\quad$ et $\quad 2\sqrt{x^2y}\quad$ ne sont pas des monômes.

$\bullet$ Un polynôme est une expression algébrique formée d’une somme de monômes. Chaque monôme est un terme du polynôme.

$2x^3y^2 - xy^3 + 4y^4\quad,\quad x^3- 2x^2+ 5\quad$ et $\quad\frac{1}{3}abc^3+a^2b^2-\sqrt 2\quad$ sont des polynômes.

$\dfrac{2}{x^2 - yx}\quad,\quad(x - 3)(x^2 + 1)\quad$ et $\quad\sqrt[3]{a + 2ab^2}\quad$ ne sont pas des polynômes.

$\circ$ Le coefficient d'un terme est la constante réelle qui affecte chacun des termes d'un polynôme.

Les coefficients de $2x^3y^2-xy^3+4y^4$ sont $2,\quad -1\quad$ et $\quad 4$ .

$\circ$ Le degré d’un terme est la somme des exposants qui affectent chaque variable de ce terme.

$2{x^7}$ est de degré 7,

$\frac{1}{3}abc^3$ est de degré 5 et

$\sqrt{2}$ est de degré 0.

$\circ$ Le degré d’un polynôme est le plus grand parmi les degrés de ses termes.

$2x^3y^2 - xy^3 + 4y^4 + \sqrt{2}$ est un polynôme de degré 5.

${x^3} - 2{x^2} + 5$ est un polynôme de degré 3.

$\sqrt{2}$ et $5$ sont les termes constants des polynômes précédents.

De manière générale, un polynôme $p(x)$ de degré $n$ qui est défini selon une variable $x$ s’écrit de la façon suivante :

$p(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0}$

où $a_k \in \mathbb{R}$ est le coefficient de $x^k$
et $n \in \mathbb{N}$ est le degré du polynôme.

2. Opérations sur les polynômes

Il est possible d'effectuer sur les polynômes les mêmes opérations que sur les nombres réels, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Il est important d'être prudent afin de bien respecter les priorités des opérations.

$\bullet$ Somme de polynômes

Pour additionner deux polynômes, il suffit d’additionner les coefficients de leurs termes semblables, c’est-à-dire des termes qui ont les mêmes variables affectées des mêmes exposants.

$(3{x^2}y -4x{y^2} + 6xy - 7x) + ({x^2} - 5x{y^2} + xy + 4x)$

$= 3{x^2}y + \left( { - 4 - 5} \right)x{y^2} + (6 +1)xy + ( - 7 + 4)x + {x^2}$

$= 3{x^2}y - 9x{y^2} + 7xy - 3x + {x^2}$

$\bullet$ Différence de polynômes

Pour soustraire deux polynômes, $P-Q$ , il suffit de soustraire les coefficients de leurs termes semblables.

Soit $P=\left(3x-(2x+2y-(x+1)\right)$ et $Q=\left(x+y-(2x-3)\right)$ .

$\begin{array}{ll}P-Q&=\Bigl( {3x- \bigl( {2x + 2y - \left( {x + 1} \right)} \bigr)} \Bigr) - \bigl( {x + y -\left( {2x - 3} \right)} \bigr)\\&=\bigl( {3x - \left( {2x + 2y - x - 1}\right)} \bigr) - \left( {x + y - 2x + 3} \right)\\&= \bigl( {3x - \left( {x + 2y - 1} \right)}\bigr) - \left( { - x + y + 3} \right)\\&=\left( {3x - x - 2y + 1} \right) + x - y -3\\&= \left( {3 - 1 + 1} \right)x + \left( { - 2- 1} \right)y + 1 - 3\\&= 3x - 3y - 2\end{array}$

$\bullet$ Produit de polynômes

Pour multiplier des expressions algébriques, on doit utiliser les propriétés des exposants. Par exemple, si l’on multiplie deux monômes, il faut d’abord multiplier les coefficients, puis multiplier les variables semblables entre elles en additionnant leurs exposants.

$\left({2{x^2}y}\right)\left({3x{y^3}z}\right) = (2 \times 3)\left({{x^2}x}\right)\left({y{y^3}}\right)z=6x^3y^4z$

Si l'on veut multiplier deux polynômes, il faut multiplier chaque terme du premier polynôme par chaque terme du second. On utilise donc la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition.

$\begin{array}{ll} & \left({x^2-xy+y^2}\right)\left({x+2y}\right) \\[0.8em] = & x^2\left({x+2y}\right)-xy\left({x+2y}\right)+y^2\left({x+2y}\right) \\[0.8em] = & x^3+2x^2y-x^2y-2xy^2+xy^2+2y^3 \\[0.8em] = & x^3+x^2y-2xy^2+xy^2+2y^3 \end{array}$

$\bullet$ Division de polynômes

La division de deux monômes, tout comme la multiplication, fait appel aux propriétés des exposants. De façon similaire, on divise d'abord les coefficients, puis on divise les variables semblables en soustrayant leurs exposants.

$\dfrac{{12{x^8}{y^2}z}}{{3{x^5}{y^2}{z^3}}}= \dfrac{{12}}{3} \times \dfrac{{{x^8}}}{{{x^5}}} \times \dfrac{{y^2}}{{y^2}}\times \dfrac{z}{{z^3}} = \dfrac{{4{x^{8 - 5}}{y^{2 - 2}}}}{{{z^{3 - 1}}}} =\dfrac{4{x^3}}{{z^2}}$

Pour diviser un polynôme par un monôme, on n'a qu'à diviser chaque terme du polynôme par ce monôme.

$\dfrac{{6{x^4} -2{x^2}y + 3x{y^2}}}{{2xy}} = \dfrac{{6{x^4}}}{{2xy}} - \dfrac{{2{x^2}y}}{{2xy}} +\dfrac{{3x{y^2}}}{{2xy}} = \dfrac{{3{x^3}}}{y} - x + \dfrac{3}{2}y$

Pour diviser deux polynômes entre eux, on procède comme pour la division de deux entiers. On cherche leur quotient et parfois, on obtient un reste.

$\left( {2{x^2} + x - 8} \right) \div \left( {x + 3} \right) \text{ ou } \dfrac{2{x^2} + x - 8}{x + 3}$	On écrit les termes de chaque polynôme dans l’ordre décroissant des degrés.
$\begin{array}{ll}{2{x^2} + x - 8}&{\left\| {\underline {x+3} } \right. }\\[0.5em]{}&{ \; 2x}\end{array}$	On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.
$\begin{array}{ll}{2{x^2} + x - 8}&{\left\| {\underline {x+3} } \right. }\\[0.5em] {2{x^2} + 6x}&{ \; 2x}\end{array}$	On multiplie chaque terme du diviseur par le premier terme du quotient.
$\begin{array}{ll}{\quad 2{x^2} + x - 8}&{\left\| {\underline {x+3} } \right. }\\[0.5em]{\underline {- \left( {2{x^2}+6x} \right) \quad} }&{ \; 2x}\\[0.5em]{\quad \quad \quad -5x-8}&{}\end{array}$	On soustrait les deux polynômes.
$\begin{array}{ll}{\quad 2{x^2} + x - 8}&{\left\| {\underline {x + 3} } \right. }\\[0.5em]{\underline {- \left( {2{x^2} + 6x} \right) \quad} }&{ \; 2x-5}\\[0.5em]{\quad \quad \quad -5x-8}&{}\\[0.5em]{\underline {\quad \quad -\left( {-5x-15} \right)}}&{}\\[0.5em]{\qquad \qquad \qquad 7}&{}\end{array}$	On continue de la même façon jusqu'à ce que le degré du reste (ici le degré est 0) soit inférieur au degré du diviseur (ici le degré est 1). La division est alors terminée.
$\dfrac{2{x^2}+x-8}{x + 3} = 2x - 5 + \dfrac{7}{x + 3}$	La réponse est le quotient, additionné de la fraction formée par le reste sur le diviseur.

Exercices formatifs WeBWorK

Opérations sur les polynômes

3. Racines et exposants fractionnaires

La racine n-ième du nombre réel $a$ , notée $\sqrt[n]{a}$ , est un nombre réel $b$ tel que

${b^n}=a$ , où l'exposant

$n$ est un entier

$\geq 2$ .

Par exemple :

3 est la racine 4-ième de 81, car on peut écrire $3^4=81$ .
Comme $\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{2^5}=-\frac{1}{32}$ , alors on dira que $-\frac{1}{2}$ est la racine 5-ième de $-\frac{1}{32}$ .

Racines paires

Pour calculer la racine n-ième paire d'un nombre $a$ , il faut respecter ces deux règles :

Le nombre $a$ ne doit pas être négatif, c'est-à-dire que $a\geq 0$ .
Le nombre $b$ , qui est la racine n-ième de $a$ , ne doit pas être négatif non plus.

Si $n$ est pair, on a alors

$\sqrt[n]{a} =b$ si $a \geq 0$ et $b \geq 0$ .

En effet, si $a$ , alors $\sqrt[n]{a}$ n'existe pas pour les entiers $n$ pairs. Par exemple, $\sqrt{-36}=b$ n'existe pas, car il n'existe aucun nombre réel $b$ tel que $b^2=-36$ .

De plus, même si $(-2)^2=4$ et que $2^2=4$ , on dira que $\sqrt{4} = 2$ , soit la racine positive de 4. Il ne faut jamais écrire $\sqrt{4}=-2$ , car la racine carrée doit être une fonction par définition, c'est-à-dire qu'à toute valeur de $x$ doit correspondre une seule image $\sqrt{x}$ . Cette notion est expliquée plus en détails dans la section sur les fonctions , mais la figure ci-contre illustre bien ce cas.

Racines impaires

Contrairement à la racine paire, la racine n-ième impaire d'un nombre $a$ est toujours définie. Dans ce cas, on a

$\sqrt[n]{a} =b$ où $a$ est un nombre réel.

Par exemple, on aura $\sqrt[3]{8} = 2$ , car $2^3 = 8$ et $\sqrt[3]{-8} = -2$ , car $(-2)^3=-8$ . Ainsi, -2 est la racine cubique de -8 et 2 est la racine cubique de 8. Remarquons que la racine n-ième impaire d'un nombre négatif est un nombre négatif, et que la racine n-ième d'un nombre positif est un nombre positif. Ils sont donc toujours du même signe.

Exposants fractionnaires

Certaines propriétés s'appliquent aux exposants fractionnaires. Elles servent à simplifier plusieurs expressions contenant des radicaux.

Propriétés

Soit $n$ et $m$ des entiers $\ge 2$ .

$\begin{array}{lll}1.&\sqrt[n]{a}=a^{1/n} &\text{ex. }\sqrt[5]{32}=32^{1/5}\\2.&\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m &\text{ex. } 8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=(2)^2=4\\3.&\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\text{ (voir note *)}&\text{ex. }\sqrt[3]{40}=\sqrt[3]{8\cdot 5}=\sqrt[3]{8}\sqrt[3]{5}=2\sqrt[3]{5}\\4.&\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\text{ (voir note *)}&\text{ex. }\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\dfrac{20}{5}}=\sqrt{4}=2\\5.&\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}&\text{ex. } \sqrt[3]{\sqrt{125}}=\sqrt[6]{125}\\6.&\sqrt[n]{a^n}=a\text{ si n est impair}&\text{ex. } \sqrt[3]{(-2)^3}=-2\\7.&\sqrt[n]{a^n}=|a|\text{ si n est pair}&\text{ex. } \sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=|-6|=6\end{array}$

* Note : Si $n$ est pair, il faut s'assurer que $a$ et $b$ sont tous deux positifs avant de décomposer le produit ou le quotient. Par exemple, on peut écrire $20=4\times 5$ ou $20 = -4\times -5$ . Mais $\sqrt{20} = \sqrt{-4\times -5}$ ne peut pas être décomposée en $\sqrt{-4}\sqrt{-5}$ , car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. On ne pourrait pas appliquer la propriété 3 dans ce cas.