2.2 Les fonctions algébriques

L'orientation de la parabole est déterminée par le paramètre $a$.

Son ouverture est vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$.

Déplacez le curseur « a » afin de remarquer l'effet sur l'ouverture de la parabole pour différentes valeurs de $a$.

Déplacez le curseur « c » afin de remarquer l'effet sur le graphique pour différentes valeurs de $c$. La parabole se déplace parallèlement à l'axe des $y$.

Cochez la case Sommet. Le sommet de la parabole est le point $\left({\dfrac{-b}{2a},f\left({\dfrac{-b}{2a}}\right)}\right)$. En effet, il y a un axe de symétrie en $x = \dfrac{-b}{2a}$. Tout point de la parabole possède donc un deuxième point symétrique.

En déplaçant le curseur « b », vous remarquez que l'axe de symétrie se déplace, mais que la distance entre les points symétriques reste la même. De plus, si $a > 0$, le sommet est un minimum et si $a < 0$, le sommet est un maximum.

On appelle le discriminant $\Delta = {b^2} - 4ac$. Il aide à déterminer le nombre de zéros que possède la fonction. Cochez la case Zéro(s) et déplacez les différents curseurs « a », « b » et « c ».

• Si $\Delta > 0$, la fonction possède deux zéros, $x=z_1$ et $x = z_2$ tels que

  $z_1 = \dfrac{-b - \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$ et $z_2 = \dfrac{-b + \sqrt {{b^2} - 4ac} }{2a}$.

  On peut exprimer la fonction en factorisant le polynôme sous la forme $f(x) = a\left({x-z_1}\right)\left({x-z_2}\right)$.

  Ex. : Choisissez a = 2, b = 3 et c = -5. Les zéros de la parabole sont $x = -\frac{5}{2}$ et $x = 1$. En factorisant, on obtient $f(x)=2x^2+3x-5=2\left({x+\frac{5}{2}}\right)\left({x-1}\right)$. Le discriminant $\Delta = 3^2 - 4(2)(-5) = 49 > 0$.

• Si $\Delta = 0$, la fonction possède un zéro $x = z$ situé au sommet de la parabole.

  On peut exprimer la fonction en factorisant le polynôme sous la forme $f(x) = a{\left({x-z}\right)}^2$.

  Ex. : Choisissez a = 1, b = -6 et c = 9. La parabole possède un seul zéro en $x = 3$. En factorisant, on obtient $f(x) = x^2-6x+9 = {\left({x-3}\right)}^2$. Le discriminant $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 0$.

• Si $\Delta < 0$, la fonction ne possède aucun zéro. On ne peut factoriser le polynôme $ax^2+bx+c$.

  Ex. : Choisissez a = 1 et b = 2. En déplaçant le curseur « c », on a que pour les valeurs $c > 1$, la parabole ne possède aucun zéro. En effet, le discriminant $\Delta = 2^2-4(1)c = 4-4c < 0$ si $c > 1$.