Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

Exemple :

Considérons la fonction réelle $f = \bigl\{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \vert \; y = 3x^2+4} \bigr\}$.

Lorsque l'on introduit $x$ dans la machine $f$, celle-ci fait subir à $x$ les transformations de l'opération $3x^2+4$ afin d'obtenir $f(x)$ à la sortie. C'est-à-dire que $x$ est élevé au carré, ensuite le résultat est multiplié par 3 et finalement, ce dernier est ajouté à 4.

Ainsi, si on y introduit :

• la valeur réelle $x=5$, l'image de $5$ par la fonction $f$ est
  $f(5) = 3\left({5^2}\right) + 4 = 3\left({25}\right) + 4 = 79$
  et le couple $\left({x,y}\right)=\left({5,79}\right) \in f$.
• le symbole $x=\Delta$, l'image de $\Delta$ par la fonction $f$ est
  $f(\Delta)=3\Delta^2+4$
  et le couple $\left({\Delta,3\Delta^2+4}\right) \in f$.
• l'expression $x=a+h$, l'image de $a+h$ par la fonction $f$ est $f(a+h)=3\left({a+h}\right)^2+4=3\left({a^2+2ah+h^2}\right)+4=3a^2+6ah+3h^2+4$
  et le couple $\left({a+h,3a^2+6ah+3h^2+4}\right) \in f$.

• Par contre, si l'on veut calculer l'expression $f(a)+h$, on obtient plutôt :

  $f(a)+h=\left(3a^2+4\right)+h=3a^2+4+h$

Il est très important de noter que $\pmb{f(a+h) \neq f(a) + h}$.

Exemple :

Considérons la fonction réelle $g = \left\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \Bigl\vert \; y = \dfrac{\sqrt{x+2}}{x} \right\rbrace$. On a

• $g(7) = \dfrac{\sqrt{7+2}}{7} = \dfrac{\sqrt{9}}{7} = \dfrac{3}{7}$ et le couple $\left({7,\frac{3}{7}}\right) \in g$.
• $g(-3)=\dfrac{\sqrt{-3+2}}{-3}=\dfrac{\sqrt{-1}}{-3}$
  $g(-3)$ n'existe pas, car $\frac{\sqrt{-1}}{-3}$ n'est pas un nombre réel étant donné la racine carrée d'un nombre négatif.
  Le couple $\left({-3,g(-3)}\right) \notin g$.
• $g(0)=\dfrac{\sqrt{0+2}}{0} = \dfrac{\sqrt{2}}{0}$
  $g(0)$ n'existe pas, car $\frac{\sqrt{2}}{0} \notin \mathbb{R}$ étant donné la division par zéro.
  Le couple $\left({0,g(0)}\right) \notin g$.
• $g(a^2-2) = \dfrac{\sqrt{(a^2-2)+2}}{(a^2-2)}=\dfrac{\sqrt{a^2}}{a^2-2}=\dfrac{|a|}{a^2-2}$
  Le couple $\left(a^2-2,\frac{|a|}{a^2-2}\right)\in g\;\;\forall\; a\in\mathbb{R}\setminus\lbrace \pm\sqrt{2}\rbrace.$