1.5 Les inéquations
- Principes pour résoudre une inéquation
- Résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes
- Résoudre une inéquation contenant des valeurs absolues
3. Résoudre une inéquation contenant des valeurs absolues
Nous pouvons séparer en deux cas les inéquations contenant une valeur absolue pour bien comprendre comment les résoudre.
- Si (ou )
Les valeurs de qui vérifient cette inéquation appartiennent à l'intervalle . Il faut donc que , c'est-à-dire que soit à la fois supérieur à et inférieur à .
Notre démarche consiste donc à chercher des solutions communes aux deux inéquations :
- Si (ou )
Les valeurs de qui vérifient cette inéquation appartiennent aux intervalles ou , c'est-à-dire que peut être inférieur à ou bien supérieur à .
Notre démarche consiste donc à faire l'union des ensembles solutions de ces deux inéquations :
Exemples :
a) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation .
Il faut trouver les valeurs de telles que l'expression à l'intérieur de la valeur absolue est à la fois inférieure à et supérieure à , c'est-à-dire .
Il faut résoudre les deux inéquations suivantes et à faire l'intersection des deux ensembles solutions.
Aidons nous du graphique Geogebra ci-dessous pour comprendre la solution de cette inéquation. En déplaçant le point vert sur la droite, on peut voir le résultat de la valeur absolue pour certaines valeurs de . L'ensemble solution contient toutes les valeurs de qui sont à la fois inférieures à et supérieures à , c'est-à-dire les valeurs de qui appartiennent à l'intervalle comme le montre la trace en bleue sur l'axe des .
De plus, on remarque que pour l'intérieur de la valeur absolue est nul, car . Ainsi, lorsque l'intérieur de la valeur absolue devient négatif, soit et lorsque , l'intérieur devient positif, soit . Cela correspond bien à la définition de la valeur absolue :
b) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation .
Il faut trouver les valeurs de qui appartiennent à l'un ou l'autre des ensembles solutions des deux inéquations :
Il faut faire l'union de ces deux ensembles que l'on a représentés sur l'axe réel suivant :
Les valeurs de peuvent donc appartenir à l'intervalle ou bien à l'intervalle .
L'ensemble solution de l'inéquation est donc .
c) Trouvons l'ensemble solution de l'inéquation .
Il faut trouver les valeurs de qui sont communes aux ensembles solutions des deux inéquations :
Il faut faire l'intersection de ces deux ensembles que l'on a représentés sur l'axe réel suivant :
C'est-à-dire que les valeurs de appartiennent à la fois à l'intervalle et à l'intervalle .