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6. Complétion du carré


La méthode de complétion du carré comporte de nombreuses utilités en algèbre, dont la factorisation d’un polynôme quadratique a{x^2} + bx + c .

Si nous voulons factoriser un trinôme général ax^2 + bx + c par la méthode présentée précédemment dans cette section, il peut être difficile, même impossible, de trouver les deux nombres dont la somme est b et le produit est ac, particulièrement si les deux nombres ne sont pas des entiers. Par exemple, le polynôme x^2 + 4x + 1 ne se factorise pas par la méthode du trinôme général, car on ne peut pas trouver deux nombres dont la somme est égale à 4 et le produit est égal à 1.


La méthode de complétion du carré, que nous présenterons à l’aide d’un exemple, permet de déterminer si un trinôme peut être factorisé et, si c’est le cas, de trouver les deux facteurs.

Exemple : Factorisons le polynôme 3x^2+ 14x - 5 par la complétion du carré.

1. Mettre en évidence le coefficient \pmb{a = 3}

3{x^2} + 14x - 5 = 3\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x - \frac{5}{3}} \right)


2. Trouver un trinôme carré parfait \pmb{{x^2} + 2ux + {u^2}} tel que \pmb{{x^2} + 2ux = {x^2} + \frac{{14}}{3}x}

\text{Si } 2ux = \frac{{14}}{3}x \quad \Rightarrow \pmb{u = \frac{7}{3}} \quad \quad \text{; on a divisé par 2}

\Rightarrow {x^2} + 2ux + {u^2} = {x^2} + 2\left( {\frac{7}{3}} \right)x + {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} = {x^2} + \frac{14}{3}x + \boxed{\tfrac{49}{9}}

\text{Puisque } {x^2} + 2ux + {u^2} = {\left( {x + u} \right)^2} \Rightarrow {x^2} + \frac{14}{3}x + \frac{49}{9} = {\left( {x + \frac{7}{3}} \right)^2}


3. Écrire le polynôme initial, si possible, sous la forme d'une différence de carrés \pmb{a\left( {{p^2} - {q^2}} \right)}

\begin{array}{rl}{3{x^2} + 14x - 5}&{ = 3\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x - \frac{5}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x + \boxed{\tfrac{49}{9}} - \boxed{\tfrac{49}{9}} - \frac{5}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x + \frac{49}{9}} \right) - \frac{49}{9} - \frac{5}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {{{\left( {x + \frac{7}{3}} \right)}^2} - \frac{64}{9}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {{{\left( {x + \frac{7}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} \right)}\end{array}


4. Factoriser cette différence de carrés

\begin{array}{rl}{3{x^2} + 14x - 5}&{ = 3\left( {{{\left( {x + \frac{7}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {x + \frac{7}{3} + \frac{8}{3}} \right)\left( {x + \frac{7}{3} - \frac{8}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {x + \frac{15}{3}} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}\end{array}

La factorisation complète du trinôme est donc :

3{x^2} + 14x - 5 = 3\left( {x + 5} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right) ou (x+5)(3x-1) en simplifiant.
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