1.2 La factorisation

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Livre:	1.2 La factorisation

Imprimé par:	Visiteur anonyme
Date:	dimanche 12 mai 2024, 02:43

Description

Introduction
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Trinôme carré parfait
Trinôme général
Polynôme quadratique non factorisable
Différence de deux carrés
Complétion du carré
Somme et différence de cubes
Théorème de la factorisation

1. Introduction

Factoriser un polynôme signifie l'exprimer comme un produit de facteurs. Par exemple :

Si $c = ab$ , alors $a$ et $b$ sont les facteurs de $c$ .

$2$ , $3$ et $5$ sont les facteurs de $60$ , car $60 = {2^2} \times 3\times 5$ .

$\left( {x + 1} \right)$ et $(x - 2)$ sont les facteurs de ${x^2} - x - 2$ , car ${x^2} - x - 2 =(x + 1)(x-2)$ .

Ainsi, la factorisation d’un polynôme consiste à l’exprimer sous la forme d’un produit de polynômes de degré inférieur (facteurs).

N’oubliez pas que la factorisation d’un polynôme n’est pas toujours possible. Par exemple, ${x^2} + 1$ ne se factorise pas.

Ainsi, pour factoriser, il faut reconnaître le modèle du polynôme et utiliser l'une des méthodes appropriées décrites dans les pages suivantes.

2. Mise en évidence simple

La méthode de mise en évidence simple est utilisée lorsque tous les termes du polynôme contiennent un facteur commun. On se souvient que les termes dans une expression sont séparés par une addition ou une soustraction. Pour mettre en évidence ce facteur commun, on utilise la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition :

$ax + ay = a\left( {x + y} \right)$

Exemples : Factoriser les expressions suivantes.

a) $2x^4+6x^2-8x$

Ce polynôme contient 3 termes et chacun des termes a $(2x)$ comme facteur commun:

$2x^4+6x^2-8x = \boxed{2x\left(x^3+3x-4\right)}$

On remarque qu'en effectuant une distributivité sur la réponse, on revient à l'expression de départ :

$2x\left(x^3+3x-4\right) = 2x\cdot x^3 + 2x\cdot 3x + 2x\cdot -4 = 2x^4+6x^2-8x$ .

b) $15a{x^3} - 6{a^2}{x^2} + 9ax$

Ce polynôme à deux variables contient également 3 termes et chacun a $(3ax)$ comme facteur commun :

$15a{x^3} - 6{a^2}{x^2} + 9ax= 3ax\left( {5{x^2}}\right) - 3ax\left( {2ax} \right) + 3ax(3) = \boxed{3ax\left( {5{x^2} - 2ax + 3}\right)}$

c) $8x^3(2x+1)^4 - 12x^2(2x+1)^5$

Cette expression contient seulement 2 termes, $8x^3(2x+1)^4$ et $12x^2(2x+1)^5$ , qui sont séparés par une soustraction. Chacun des termes possèdent trois facteurs : une constante, une puissance de $x$ et une puissance de $(2x+1)$ . Trouvons les facteurs communs :

$\underset{\pmb{4}\cdot 2}{\underbrace{8}}\;\underset{\pmb{x^2}\cdot x}{\underbrace{x^3}}\;\underset{\pmb{(2x+1)^4}}{\underbrace{(2x+1)^4}}$ et $\underset{\pmb{4}\cdot 3}{\underbrace{12}}\;\underset{\pmb{x^2}}{\underbrace{x^2}}\;\underset{\pmb{(2x+1)^4}(2x+1)}{\underbrace{(2x+1)^5}}$

Les facteurs communs sont ceux en gras sous chacun des termes, alors en mettant en évidence ces facteurs on obtient :

$\begin{array}{ll}8x^3(2x+1)^4 - 12x^2(2x+1)^5&=4x^2(2x+1)^4\left(2x - 3(2x+1)\right)\\&= 4x^2(2x+1)^4\left(2x - 6x-3\right)\\&=4x^2(2x+1)^4(-4x-3)\\&=\boxed{-4x^2(2x+1)^4(4x+3)}\end{array}$

3. Mise en évidence double

$\begin{array}{rl}{ax + ay + bx + by}&{= \left( {ax + ay} \right) + \left( {bx + by} \right)}\\{}&{= a\pmb{\left( {x + y} \right)} + b\pmb{\left( {x + y} \right)}}\\{}&{= \pmb{\left( {x + y} \right)} \left( {a + b} \right)}\end{array}$

On utilise la double mise en évidence lorsque les termes, une fois regroupés par deux (ou par trois, par quatre, etc.) contiennent un facteur commun à chaque groupe de termes. Cette méthode est souvent utilisée lorsqu'il y a 4 termes ou 6 termes dans l'expression.

Après avoir regroupé les termes, on effectue deux mises en évidence simple successives, si possible.

Exemples :

$\begin{array}{rll}\underbrace{6x^2-9ax}+\underbrace{4bx - 6ab}&=3x\left(2x - 3a\right)+2b\left(2x - 3a\right)&\small\text{; mise en évidence de }3x\text{ et de }2b\\&=\boxed{\left(2x- 3a\right)\left(3x + 2b\right)}&\small\text{; mise en évidence de }(2x-3a)\end{array}$

$\begin{array}{rll}\underbrace{12x -4y}+ \underbrace{3xy^2-y^3}&= 4\left(3x-y\right)+y^2\left(3x - y\right)&\small\text{; mise en évidence de }4\text{ et de }y^2\\&=\boxed{\left(3x - y\right) \left(4+y^2\right)}&\small\text{; mise en évidence de }(3x-y)\end{array}$

4. Polynômes quadratiques

Les méthodes de factorisation suivantes sont souvent appliquées aux polynômes quadratiques de la forme $ax^2+bx+c.$

Trinôme carré parfait
Trinôme général
Complétion du carré

4.1. Trinôme carré parfait

${x^2} + 2xy + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2}$

Lorsqu’on élève la somme de deux variables au carré, on constate qu'un des termes du polynôme correspond au double du produit de ces variables. En effet,

$\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)\left(x+y\right)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+\boxed{2xy}+y^2$

La factorisation trinôme carré parfait s’utilise seulement avec des polynômes qui s'écrivent comme une somme de trois termes ayant la forme suivante :

- ${x^2}$ est le carré du premier terme.
- ${y^2}$ est le carré du second terme.
- $2xy$ est le double du produit des deux termes.

Exemples :

a) $4{a^2}+ 20a + 25 = {\left( {2a + 5} \right)^2}$ , car

$\cdot \; 4{a^2}$ est le carré de $2a$ .

$\cdot \; 25$ est le carré de $5$ .

$\cdot \; 20a=2\left( {2a} \right)\left( 5\right)$

b) ${x^4}- 8{x^2}y + 16{y^2} = \left( {{x^2} - 4y} \right)^2$ , car

$\cdot \; {x^4}$ est le carré de $x^2$ .

$\cdot \; 16{y^2}$ est le carré de $- 4y$ .

$\cdot \; -8x^2y=2\left( {{x^2}} \right)\left( { -4y} \right)$

c) Factorisons $x^6 - 12x^3 + 36$ .

On peut écrire $x^6 = (x^3)^2$ . Posons la nouvelles variable $u=x^3$ pour faciliter l'écriture. L'expression devient donc :

$\begin{array}{lll}x^6 - 12x^3 + 36 &= (x^3)^2 - 12(x^3) + 36& \\&= u^2 - 12u + 36&; u=x^3\\ &=u^2 + 2(-6)u + (-6)^2&;\small -12u\text{ est le double du produit de }-6\text{ et }u \\ &= \left(u-6\right)^2&\\&=\boxed{ \left( x^3-6\right)^2} &; u=x^3\end{array}$

4.2. Trinôme général

$a{x^2} + bx + c = a{x^2} + \left( {ux + vx} \right) + c$
où

$b = u + v$ et

$ac = uv$

On peut factoriser un trinôme général en suivant les étapes suivantes :

1. On cherche deux nombres $u$ et $v$ , dont la somme est ${b}$ et le produit est ${ac}$ .

$u + v =b \text{ et }uv = ac$

2. On remplace ${b}$ par la somme de ces deux nombres.

3. On effectue une mise en évidence double.

Exemples : Factorisons les trinômes suivants.

$\pmb{{x^2} - 5x + 36}$

On cherche deux nombres tels que

$u + v =b = - 5 \text{ et }uv = ac = 36$

$- 9 + 4 = - 5 \quad\text{ et }\quad\left( { - 9} \right)\left( 4 \right)= - 36$

On effectue ensuite une double mise en évidence de la façon suivante :

$\begin{array}{rl}{{x^2}- 5x + 36}&{= {x^2} - 9x + 4x + 36}\\{}&{= x\left( {x - 9} \right) + 4\left( {x - 9}\right)}\\{}&{= \left( {x - 9} \right)\left( {x + 4} \right)}\end{array}$

Remarque : Si $a=1$ , le trinôme de la forme ${x^2} + bx + c$ peut se factoriser plus directement de la façon suivante :

${x^2} + bx + c = \left( {x + u} \right)\left( {x + v} \right)$

$\pmb{6{x^2} - 7x - 3}$

On cherche deux nombres tels que

$u + v =b = - 7 \text{ et } uv = ac= - 18$

$- 9 + 2 = - 7 \text{ et }\left( { - 9} \right)\left( 2 \right)= - 18$

On effectue ensuite une double mise en évidence :

$\begin{array}{rl}{6{x^2} + 7x - 3}&{= 6{x^2} - 9x+ 2x - 3}\\{}&{= 3x\left( {2x - 3} \right) + \left( {2x - 3} \right)}\\{}&{= \left( {2x- 3} \right)\left( {3x + 1} \right)}\end{array}$

$\pmb{x^4-x^2-12}$

Tout d'abord, remarquons que $x^4 = (x^2)^2$ . Remplaçons $t=x^2$ afin d'exprimer notre polynôme en $x$ de degré 4 en un polynôme en $t$ de degré 2. Nous obtenons

$x^4 - x^2 - 12 = (x^2)^2 - x^2 -12 = t^2 - t - 12$

Notre polynôme est maintenant sous la forme $t^2 + bt + c$ . Pour le factoriser, on cherche deux nombres tels que

$u + v =b = -1\text{ et } uv = c= - 12$

On a $-4+3=-1$ et $-4\times 3 = -12$ .

On obtient alors :

$\begin{array}{rll} t^2-t-12 &= \left(t-4\right)\left(t+3\right)&\\&=\left(x^2-4\right)\left(x^2+3\right)&; t=x^2\\&=(x-2)(x+2)(x^2+3)&; x^2-4 \small\text{ est une différence de carrés }\end{array}$

Par conséquent, $x^4-x^2-12 = (x-2)(x+2)(x^2+3)$ .

4.3. Polynôme quadratique non factorisable

On dit qu'un polynôme quadratique de la forme $P(x)=ax^2+bx+c$ est irréductible s'il n'est pas factorisable, c'est-à-dire si on ne peut pas le décomposer en un produit de deux facteurs de degré 1. Voici la règle à respecter :

Si $b^2-4ac < 0$ , alors $P(x)=ax^2+bx+c$ est irréductible.
Si $b^2-4ac \geq 0$ , alors $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les zéros du polynôme $P(x)$ , c'est-à-dire que $P(x_1)=0$ et $P(x_2)=0$ . Ils sont obtenus par la formule quadratique:

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Par exemple, le polynôme $P(x)=x^2 - x + 4$ n'est pas factorisable, car $b^2-4ac = (-1)^2 - 4(4)=-15 < 0$ . De façon équivalente, on peut dire qu'il n'existe aucune valeur de $x$ telle que $P(x)=x^2-x+4=0$ . Le graphique de cette fonction représente une courbe qui ne croisera jamais l'axe des $x$ .

De même, une somme de deux carrés $x^2+a^2$ n’est pas décomposable en facteurs, car il n'existe aucune valeur réelle de $x$ telle que $x^2+a^2=0$ ou telle que $x^2=-a^2$ .

Le graphique Geogebra ci-dessous représente la fonction quadratique $f(x) = {x^2} + {a^2}$ . Suivez les instructions et remarquez que la courbe de cette fonction ne croisera jamais l’axe des $x$ peu importe la valeur de a.

5. Différence de deux carrés

${x^2} - {a^2} = \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right)$

On peut vérifier le résultat de la factorisation en effectuant la multiplication des deux facteurs.

$\begin{array}{rl}{\left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) }&{= {x^2} + ax - ax - {a^2}}\\{}&{= {x^2} - {a^2}}\end{array}$

Exemples :

$\begin{array}{rl}9x^2-64y^6&=\left(3x\right)^2-\left(8y^3\right)^2\\&=\left(3x - 8y^3\right)\left(3x + 8y^3\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}x^4-81&=\left(x^2\right)^2-9^2\\&= \left(x^2-9\right)\left(x^2+9 \right)\\&=\left(x - 3\right)\left(x + 3\right)\left(x^2+ 9\right)\end{array}$

Il s’agit de la factorisation complète du polynôme $\left( {{x^4} - 81} \right)$ .

N'oublions pas que le facteur $\left( {{x^2} + 9} \right)$ n’est pas décomposable.

6. Complétion du carré

La méthode de complétion du carré comporte de nombreuses utilités en algèbre, dont la factorisation d’un polynôme quadratique $a{x^2} + bx + c$ .

Si nous voulons factoriser un trinôme général $ax^2 + bx + c$ par la méthode présentée précédemment dans cette section, il peut être difficile, même impossible, de trouver les deux nombres dont la somme est $b$ et le produit est $ac$ , particulièrement si les deux nombres ne sont pas des entiers. Par exemple, le polynôme $x^2 + 4x + 1$ ne se factorise pas par la méthode du trinôme général, car on ne peut pas trouver deux nombres dont la somme est égale à $4$ et le produit est égal à $1$ .

La méthode de complétion du carré, que nous présenterons à l’aide d’un exemple, permet de déterminer si un trinôme peut être factorisé et, si c’est le cas, de trouver les deux facteurs.

Exemple : Factorisons le polynôme $3x^2+ 14x - 5$ par la complétion du carré.

1. Mettre en évidence le coefficient $\pmb{a = 3}$

$3{x^2} + 14x - 5 = 3\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x - \frac{5}{3}} \right)$

2. Trouver un trinôme carré parfait $\pmb{{x^2} + 2ux + {u^2}}$ tel que $\pmb{{x^2} + 2ux = {x^2} + \frac{{14}}{3}x}$

$\text{Si } 2ux = \frac{{14}}{3}x \quad \Rightarrow \pmb{u = \frac{7}{3}} \quad \quad \text{; on a divisé par 2}$

$\Rightarrow {x^2} + 2ux + {u^2} = {x^2} + 2\left( {\frac{7}{3}} \right)x + {\left( {\frac{7}{3}} \right)^2} = {x^2} + \frac{14}{3}x + \boxed{\tfrac{49}{9}}$

$\text{Puisque } {x^2} + 2ux + {u^2} = {\left( {x + u} \right)^2}$ $\Rightarrow {x^2} + \frac{14}{3}x + \frac{49}{9} = {\left( {x + \frac{7}{3}} \right)^2}$

3. Écrire le polynôme initial, si possible, sous la forme d'une différence de carrés $\pmb{a\left( {{p^2} - {q^2}} \right)}$

$\begin{array}{rl}{3{x^2} + 14x - 5}&{ = 3\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x - \frac{5}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x + \boxed{\tfrac{49}{9}} - \boxed{\tfrac{49}{9}} - \frac{5}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {\left( {{x^2} + \frac{14}{3}x + \frac{49}{9}} \right) - \frac{49}{9} - \frac{5}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {{{\left( {x + \frac{7}{3}} \right)}^2} - \frac{64}{9}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {{{\left( {x + \frac{7}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} \right)}\end{array}$

4. Factoriser cette différence de carrés

$\begin{array}{rl}{3{x^2} + 14x - 5}&{ = 3\left( {{{\left( {x + \frac{7}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {x + \frac{7}{3} + \frac{8}{3}} \right)\left( {x + \frac{7}{3} - \frac{8}{3}} \right)}\\[0.5em]{}&{ = 3\left( {x + \frac{15}{3}} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}\end{array}$

La factorisation complète du trinôme est donc :

$3{x^2} + 14x - 5 = 3\left( {x + 5} \right)\left( {x - \frac{1}{3}} \right)$ ou $(x+5)(3x-1)$ en simplifiant.

7. Somme et différence de cubes

${x^3} + {a^3} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - ax + {a^2}} \right)$

${x^3} - {a^3} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^2} + ax + {a^2}} \right)$

On peut appliquer directement les formules ci-dessus pour factoriser un binôme dont chacun des termes est le cube d’un nombre ou d’une expression.

Exemple 1 : Factorisons le binôme $x^3+8$ .

$\begin{array}{rl}{x^3+8}&{= {x^3} + { 2 ^3}}\\{}&{= \left( {x + 2} \right)\left( {{{x}^2} - 2x + {2^2}} \right)}\\{}&{= \left( {x+2} \right)\left( {{x^2} - {2x} + 4} \right)}\end{array}$

Exemple 2 : Factorisons le binôme $8{x^6}-27$ .

$\begin{array}{rl}{8{x^6}-27}&{= {\left( {2{x^2}} \right)^3} - {\left( 3 \right)^3}}\\{}&{= \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {{{\left( {2{x^2}} \right)}^2} + \left( {2{x^2}} \right)\left( 3 \right) + {3^2}} \right)}\\{}&{= \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {4{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)}\end{array}$

8. Théorème de la factorisation

Dans certain cas, nous pouvons également utiliser la division polynomiale pour nous aider à factoriser en déterminant auparavant un facteur $\left( {x - a} \right)$ .
Afin de trouver ce facteur, il faut appliquer le théorème de la factorisation :

Soit

$p(x)$ , un polynôme de degré

$n$ , alors

$(x-a)$ est un facteur de

$p(x)$

$\Leftrightarrow$

$x=a$ est un zéro de

$p(x)$ , donc si et seulement si

$p(a)=0$ .

Exemple 1 : Factorisons le polynôme $x^3 + x^2 - x -1$ sachant que $x=1$ est un zéro du polynôme.

Sachant que $x = 1$ est un zéro de $(x^3 + x^2 - x -1)$ , c'est-à-dire que

$x^3 + x^2 - x -1 = 0$ lorsque $x = 1$ ,

alors $(x - 1)$ est un facteur linéaire de notre polynôme (de même, $x - 1 = 0$ lorsque $x = 1$ ).

Par conséquent, nous pouvons écrire :

$x^3 + x^2 - x -1 = (x - 1) q(x)$
où $q(x)$ est un polynôme quadratrique de la forme $ax^2+bx+c$

Nous trouvons le trinôme $q(x)$ en effectuant la division polynomiale suivante.

$q(x) = \dfrac{x^3 +x^2-x-1}{x-1} \Rightarrow$

$\begin{array}{ll}{\phantom{-(\;}x^3+x^2-x-1}&{\left| {\underline {x - 1} } \right. }\\{\underline {- \left( {{x^3} -x^2} \right)} }&{x^2 + 2x + 1}\\\phantom{-(\;}{2x^2 -x-1}&{}\\{\underline {-\left( {2x^2 -2x} \right)}}&{}\\\phantom{-(\;}{x-1}&{}\\{\underline {-\left( {x-1} \right)}}&{} \\{\quad\quad 0}&{}\end{array}$

Ainsi,

$x^3+x^2-x-1 = \left( {x-1} \right) \left( {x^2+2x+1} \right)$ .

Attention! La factorisation n'est pas terminée, car le facteur quadratique est réductible. On a que

$x^2+2x+1 = (x+1)^2$

La réponse finale est donc

$x^3+x^2-x-1 = \left( {x-1} \right) \left( {x+1} \right)^2$ .

Exemple 2 : Factorisons le binôme ${x^3} + 8$ .

Cherchons un zéro de ${x^3} + 8$ , c'est-à-dire un nombre $x = a$ tel que ${x^3} + 8 = 0.$

Ce nombre est $x = - 2$ , car $(- 2)^3 + 8 = 0$ . Par conséquent, le facteur du polynôme $x^3+8$ est

$(x- (-2)) = (x + 2)$ .

Nous avons donc

$x^3 + 8 = \left( {x + 2} \right)q(x)$ où $q(x)$ est un polynôme de degré 2.

Nous trouvons le polynôme $q(x)$ en effectuant une division polynomiale.

$q(x) = \dfrac{{x^3} + 8}{x+2} \Rightarrow$

$\begin{array}{rl}{{x^3} + 8}&{\left| {\underline {x + 2} } \right. }\\{\underline {- \left( {{x^3} + 2{x^2}} \right)} }&{ \; {x^2} - 2x + 4}\\{-2{x^2} + 8}&{}\\{\underline {-\left( {-2{x^2} - 4x} \right)}}&{}\\{4x+8}&{}\\{\underline {-\left( {4x + 8} \right)}}&{} \\{0}&{}\end{array}$

Ainsi, nous obtenons ${x^3} + 8 = \left( {x + 2} \right) \left( { {x^2} - 2x + 4 } \right)$

Remarque : La factorisation est complète, car le facteur quadratique $x^2-2x+4$ est irréductible puisque son discriminant $b^2-4ac = -12 < 0$ . Nous retrouvons le même résultat que celui obtenu en appliquant la formule de la somme de cubes.