1.2 La factorisation: Somme et différence de cubes | Mathéma-TIC

1.2 La factorisation

Introduction
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Trinôme carré parfait
Trinôme général
Polynôme quadratique non factorisable
Différence de deux carrés
Complétion du carré
Somme et différence de cubes
Théorème de la factorisation

7. Somme et différence de cubes

${x^3} + {a^3} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - ax + {a^2}} \right)$

${x^3} - {a^3} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^2} + ax + {a^2}} \right)$

On peut appliquer directement les formules ci-dessus pour factoriser un binôme dont chacun des termes est le cube d’un nombre ou d’une expression.

Exemple 1 : Factorisons le binôme $x^3+8$ .

$\begin{array}{rl}{x^3+8}&{= {x^3} + { 2 ^3}}\\{}&{= \left( {x + 2} \right)\left( {{{x}^2} - 2x + {2^2}} \right)}\\{}&{= \left( {x+2} \right)\left( {{x^2} - {2x} + 4} \right)}\end{array}$

Exemple 2 : Factorisons le binôme $8{x^6}-27$ .

$\begin{array}{rl}{8{x^6}-27}&{= {\left( {2{x^2}} \right)^3} - {\left( 3 \right)^3}}\\{}&{= \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {{{\left( {2{x^2}} \right)}^2} + \left( {2{x^2}} \right)\left( 3 \right) + {3^2}} \right)}\\{}&{= \left( {2{x^2} - 3} \right)\left( {4{x^4} + 6{x^2} + 9} \right)}\end{array}$