1.2 La factorisation: Polynôme quadratique non factorisable

1.2 La factorisation

Introduction
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Trinôme carré parfait
Trinôme général
Polynôme quadratique non factorisable
Différence de deux carrés
Complétion du carré
Somme et différence de cubes
Théorème de la factorisation

4. Polynômes quadratiques

4.3. Polynôme quadratique non factorisable

On dit qu'un polynôme quadratique de la forme $P(x)=ax^2+bx+c$ est irréductible s'il n'est pas factorisable, c'est-à-dire si on ne peut pas le décomposer en un produit de deux facteurs de degré 1. Voici la règle à respecter :

Si $b^2-4ac < 0$ , alors $P(x)=ax^2+bx+c$ est irréductible.
Si $b^2-4ac \geq 0$ , alors $P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les zéros du polynôme $P(x)$ , c'est-à-dire que $P(x_1)=0$ et $P(x_2)=0$ . Ils sont obtenus par la formule quadratique:

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Par exemple, le polynôme $P(x)=x^2 - x + 4$ n'est pas factorisable, car $b^2-4ac = (-1)^2 - 4(4)=-15 < 0$ . De façon équivalente, on peut dire qu'il n'existe aucune valeur de $x$ telle que $P(x)=x^2-x+4=0$ . Le graphique de cette fonction représente une courbe qui ne croisera jamais l'axe des $x$ .

De même, une somme de deux carrés $x^2+a^2$ n’est pas décomposable en facteurs, car il n'existe aucune valeur réelle de $x$ telle que $x^2+a^2=0$ ou telle que $x^2=-a^2$ .

Le graphique Geogebra ci-dessous représente la fonction quadratique $f(x) = {x^2} + {a^2}$ . Suivez les instructions et remarquez que la courbe de cette fonction ne croisera jamais l’axe des $x$ peu importe la valeur de a.