1.2 La factorisation: Trinôme carré parfait | Mathéma-TIC

1.2 La factorisation

Introduction
Mise en évidence simple
Mise en évidence double
Trinôme carré parfait
Trinôme général
Polynôme quadratique non factorisable
Différence de deux carrés
Complétion du carré
Somme et différence de cubes
Théorème de la factorisation

4. Polynômes quadratiques

4.1. Trinôme carré parfait

${x^2} + 2xy + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2}$

Lorsqu’on élève la somme de deux variables au carré, on constate qu'un des termes du polynôme correspond au double du produit de ces variables. En effet,

$\left(x+y\right)^2=\left(x+y\right)\left(x+y\right)=x^2+xy+xy+y^2=x^2+\boxed{2xy}+y^2$

La factorisation trinôme carré parfait s’utilise seulement avec des polynômes qui s'écrivent comme une somme de trois termes ayant la forme suivante :

- ${x^2}$ est le carré du premier terme.
- ${y^2}$ est le carré du second terme.
- $2xy$ est le double du produit des deux termes.

Exemples :

a) $4{a^2}+ 20a + 25 = {\left( {2a + 5} \right)^2}$ , car

$\cdot \; 4{a^2}$ est le carré de $2a$ .

$\cdot \; 25$ est le carré de $5$ .

$\cdot \; 20a=2\left( {2a} \right)\left( 5\right)$

b) ${x^4}- 8{x^2}y + 16{y^2} = \left( {{x^2} - 4y} \right)^2$ , car

$\cdot \; {x^4}$ est le carré de $x^2$ .

$\cdot \; 16{y^2}$ est le carré de $- 4y$ .

$\cdot \; -8x^2y=2\left( {{x^2}} \right)\left( { -4y} \right)$

c) Factorisons $x^6 - 12x^3 + 36$ .

On peut écrire $x^6 = (x^3)^2$ . Posons la nouvelles variable $u=x^3$ pour faciliter l'écriture. L'expression devient donc :

$\begin{array}{lll}x^6 - 12x^3 + 36 &= (x^3)^2 - 12(x^3) + 36& \\&= u^2 - 12u + 36&; u=x^3\\ &=u^2 + 2(-6)u + (-6)^2&;\small -12u\text{ est le double du produit de }-6\text{ et }u \\ &= \left(u-6\right)^2&\\&=\boxed{ \left( x^3-6\right)^2} &; u=x^3\end{array}$