Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)

Exemples : Factoriser les expressions suivantes.

a) $2x^4+6x^2-8x$

Ce polynôme contient 3 termes et chacun des termes a $(2x)$ comme facteur commun:

$2x^4+6x^2-8x = \boxed{2x\left(x^3+3x-4\right)}$

On remarque qu'en effectuant une distributivité sur la réponse, on revient à l'expression de départ :

$2x\left(x^3+3x-4\right) = 2x\cdot x^3 + 2x\cdot 3x + 2x\cdot -4 = 2x^4+6x^2-8x$.

b) $15a{x^3} - 6{a^2}{x^2} + 9ax$

Ce polynôme à deux variables contient également 3 termes et chacun a $(3ax)$ comme facteur commun :

$15a{x^3} - 6{a^2}{x^2} + 9ax= 3ax\left( {5{x^2}}\right) - 3ax\left( {2ax} \right) + 3ax(3) = \boxed{3ax\left( {5{x^2} - 2ax + 3}\right)}$

c) $8x^3(2x+1)^4 - 12x^2(2x+1)^5$

Cette expression contient seulement 2 termes, $8x^3(2x+1)^4$ et $12x^2(2x+1)^5$, qui sont séparés par une soustraction. Chacun des termes possèdent trois facteurs : une constante, une puissance de $x$ et une puissance de $(2x+1)$. Trouvons les facteurs communs :

$\underset{\pmb{4}\cdot 2}{\underbrace{8}}\;\underset{\pmb{x^2}\cdot x}{\underbrace{x^3}}\;\underset{\pmb{(2x+1)^4}}{\underbrace{(2x+1)^4}}$ et $\underset{\pmb{4}\cdot 3}{\underbrace{12}}\;\underset{\pmb{x^2}}{\underbrace{x^2}}\;\underset{\pmb{(2x+1)^4}(2x+1)}{\underbrace{(2x+1)^5}}$

Les facteurs communs sont ceux en gras sous chacun des termes, alors en mettant en évidence ces facteurs on obtient :

$\begin{array}{ll}8x^3(2x+1)^4 - 12x^2(2x+1)^5&=4x^2(2x+1)^4\left(2x - 3(2x+1)\right)\\&= 4x^2(2x+1)^4\left(2x - 6x-3\right)\\&=4x^2(2x+1)^4(-4x-3)\\&=\boxed{-4x^2(2x+1)^4(4x+3)}\end{array}$