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4. Formules d'addition d'angles

Les formules suivantes permettent de calculer le sinus et le cosinus d'une somme ou d'une différence d'angles.

  1. \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)
  2. \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)
  3. \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)
  4. \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)

Cliquez sur le lien suivant pour voir une démonstration de la formule d'addition d'angle de la fonction sinus. Les autres formules se démontrent d'une façon similaire.

Démonstration : \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)

Exemple : On peut calculer la valeur de \sin\left(\frac{5\pi}{12}\right) avec la formule 1 d'addition d'angles et les valeurs du sinus et cosinus d'angles remarquables. En effet,

\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}

Par conséquent, on obtient :

\begin{array}{ll}\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)&=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)\\[1em]&=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\\[1em]&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]&=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\\[1em]&=\boxed{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}

À partir des formules d'addition d'angles, nous pouvons également créer deux nouvelles identités, celles du double des angles.

  1. \sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)
  2. \cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)

En voici les démonstrations :

  1. Sachant que \boxed{\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)}, on pose b=a pour obtenir

    \begin{array}{llr}\sin(a+a)&=\sin(a)\cos(a)+\cos(a)\sin(a)&\\\sin(2a)&=2\sin(a)\cos(a)&\\&&\square\end{array}

  2. Sachant que \boxed{\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)}, on pose b=a pour obtenir

    \begin{array}{llr}\cos(a+a)&=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)&\\\cos(2a)&=\cos^2(a)-\sin^2(a)&\\&&\square\end{array}

Finalement, la formule 6 nous permet de créer ces deux dernières formules liées aux carrés des fonctions sinus et cosinus qui serviront en calcul intégral.

  1. \cos^2(a)=\dfrac{1+\cos(2a)}{2}
  2. \sin^2(a)=\dfrac{1-\cos(2a)}{2}

En voici les démonstrations :

  1. Sachant que \boxed{\sin^2(a)=1-\cos^2(a)}, on peut la remplacer dans la formule 6, \boxed{\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)}, pour obtenir

    \begin{array}{rlr}\cos(2a)&=\cos^2(a)-(1-\cos^2(a))&\\\cos(2a)&=\cos^2(a)-1+\cos^2(a)&\\\cos(2a)&=2\cos^2(a)-1&\\2\cos^2(a)&=1+\cos(2a)&\\\cos^2(a)&=\dfrac{1+\cos(2a)}{2}&\\&&\square\end{array}

  2. Sachant que \boxed{\cos^2(a)=1-\sin^2(a)}, on peut la remplacer dans la formule 6, \boxed{\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)}, pour obtenir

    \begin{array}{rlr}\cos(2a)&=(1-\sin^2(a))-\sin^2(a)&\\\cos(2a)&=1-2\sin^2(a)&\\2\sin^2(a)&=1-\cos(2a)&\\\sin^2(a)&=\dfrac{1-\cos(2a)}{2}&\\&&\square\end{array}

Exemple : On peut calculer la valeur de \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) avec la formule 7 et la valeur du cosinus d'angles remarquables. En effet, en posant

\theta = \dfrac{11\pi}{8}, on a (2\theta) = \dfrac{11\pi}{4} et sachant que \cos^2(\theta)=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2},

on obtient :

\begin{array}{ll}\cos\left(\frac{11\pi}{8}\right)&=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)}{2}}\\[1em]&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\[1em]&=\pm\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}\\[1em]&=\pm\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\end{array}

angle

Finalement, on détermine le signe de \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) en plaçant un point sur le cercle trigonométrique situé à un angle de \frac{11\pi}{8}, soit dans le troisième quadrant. Par conséquent, on aura une valeur négative.

Ainsi, \cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) =-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.

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