3.2 Les identités trigonométriques

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Livre:	3.2 Les identités trigonométriques

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Date:	samedi 18 mai 2024, 07:47

Description

Introduction
Identités de base
Formules trigonométriques utiles
Formules d'addition d'angles
Démonstration d'une identité

1. Introduction

Dans cette section, nous allons démontrer et illustrer les différentes formules de trigonométrie qui sont utiles au cours du cursus collégial et qui servent à simplifier des expressions trigonométriques.

Par définition, une identité trigonométrique est une égalité permettant de transformer une expression trigonométrique en une expression équivalente, mais plus simple.

Voici une liste qui regroupe les identités trigonométriques les plus courantes.

$\begin{array}{cl} \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 &(1)\\1+\tan^2(x)=\sec^2(x) &(2)\\ \cot^2(x)+ 1 = \csc^2(x) &(3)\\ \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) &(4)\\ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a) &(5)\\ \cos(2a)=\cos^2(a) - \sin^2(a) &(6)\\ \sin(2a)=2\sin(a)\cos(a) &(7)\\ \cos^2(a) = \frac{1}{2}\Bigl(1 + \cos(2a)\Bigr) &(8)\\ \sin^2(a) = \frac{1}{2}\Bigl(1-\cos(2a)\Bigr) &(9)\\ \cos(-a) = \cos(a)&(10)\\ \sin(-a) = -\sin(a) &(11)\\ \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\Bigl(\cos(a-b) + \cos(a+b)\Bigr) &(12)\\ \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\Bigl(\cos(a-b) - \cos(a+b)\Bigr) &(13)\\ \sin(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\Bigl(\sin(a-b) + \sin(a+b)\Bigr) &(14) \end{array}$

2. Identités de base

Soit le triangle

L'identité à la base de toutes les autres s'appelle le théorème de Pythagore.

Théorème : Dans un triangle rectangle tel qu'illustré plus haut, on a toujours que

$a^2 + b^2 = c^2$

En divisant par $c^2$ de chaque côté, on obtient

$\begin{array}{ll}\dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = 1 &\\ \left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left(\dfrac{b}{c}\right)^2=1&\\(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1&\text{; car } \frac{a}{c}=\cos\theta\text{ et }\frac{b}{c}=\sin\theta\end{array}$

Par conséquent, en utilisant les définitions des fonctions trigonométriques, on obtient

$\cos^2\theta+\sin^2\theta =1$

Afin de trouver les deux autres identités de base, il suffit de diviser l'équation ci-dessus par $\cos^2\theta$ ou par $\sin^2\theta$ .

En effet,

$\dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}+\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

Comme $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$ et $\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta$ , on peut déduire que

$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$

$\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}+\dfrac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$

Comme $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta$ et $\frac{1}{\sin\theta}=\csc\theta$

$\cot^2\theta + 1=\csc^2\theta$

3. Formules trigonométriques utiles

Les formules trigonométriques proviennent des propriétés des angles associés suivants :

Les angles opposés
Les angles complémentaires et anticomplémentaires
Les angles supplémentaires et antisupplémentaires

Angles opposés

Deux angles sont opposés si et seulement si leur somme est égale à 0. Les angles $\theta$ et $-\theta$ sont opposés et à l'aide du cercle trigonométrique ci-contre, on peut en déduire ces formules :

$\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$

$\cos(-\theta)=\cos(\theta)$

Exemple : $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , car les angles $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$ sont deux angles opposés, $\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\right)=0$ .

On a vu précédemment que la valeur du cosinus des angles $\frac{-\pi}{6}$ et $\left(\frac{-\pi}{6}+2\pi\right)$ est la même. On peut en déduire également l'égalité suivante :

$\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Angles complémentaires et anticomplémentaires

Deux angles sont complémentaires si et seulement si leur somme est égale à 90°, tandis que deux angles sont anticomplémentaires si et seulement si la valeur absolue de leur différence est égale à 90°. Les angles $\theta$ et $\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$ sont complémentaires et les angles $\theta$ et $\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$ sont anticomplémentaires. À l'aide des figures, on peut en déduire les formules suivantes :

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos(\theta)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin(\theta)$

$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos(\theta)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin(\theta)$

Exemple : $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ , car les angles $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{3}$ sont deux angles complémentaires, $\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ .

Angles supplémentaires et antisupplémentaires

Deux angles sont supplémentaires si et seulement si leur somme est égale à 180°, tandis que deux angles sont antisupplémentaires si et seulement si la valeur absolue de leur différence est égale à 180°. Les angles $\theta$ et $(\pi-\theta)$ sont supplémentaires et les angles $\theta$ et $(\pi+\theta)$ sont antisupplémentaires.

$\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)$

$\cos(\pi-\theta)=-\cos(\theta)$

$\sin(\pi+\theta)=-\sin(\theta)$

$\cos(\pi+\theta)=-\cos(\theta)$

Exemples :

a) $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ , car les angles $\frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}$ sont deux angles supplémentaires, $\left(\frac{\pi}{6}+\frac{5\pi}{6}\right)=\pi$ .

b) $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ , car les angles $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{5\pi}{4}$ sont deux angles antisupplémentaires, $\left|\frac{\pi}{4}-\frac{5\pi}{4}\right|=\left|\frac{-4\pi}{4}\right|=\pi$ .

En effet, $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\dfrac{\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=\dfrac{-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}=\tan\left(\frac{\pi}{4}\right).$

Exercices formatifs WeBWorK

Formules trigonométriques utiles

4. Formules d'addition d'angles

Les formules suivantes permettent de calculer le sinus et le cosinus d'une somme ou d'une différence d'angles.

Cliquez sur le lien suivant pour voir une démonstration de la formule d'addition d'angle de la fonction sinus. Les autres formules se démontrent d'une façon similaire.

Démonstration : $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$

Exemple : On peut calculer la valeur de $\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)$ avec la formule 1 d'addition d'angles et les valeurs du sinus et cosinus d'angles remarquables. En effet,

$\dfrac{5\pi}{12}=\dfrac{2\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}$

Par conséquent, on obtient :

$\begin{array}{ll}\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)&=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\right)\\[1em]&=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\\[1em]&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[1em]&=\dfrac{\sqrt{6}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\\[1em]&=\boxed{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}$

À partir des formules d'addition d'angles, nous pouvons également créer deux nouvelles identités, celles du double des angles.

En voici les démonstrations :

Sachant que $\boxed{\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)}$ , on pose $b=a$ pour obtenir

$\begin{array}{llr}\sin(a+a)&=\sin(a)\cos(a)+\cos(a)\sin(a)&\\\sin(2a)&=2\sin(a)\cos(a)&\\&&\square\end{array}$
Sachant que $\boxed{\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)}$ , on pose $b=a$ pour obtenir

$\begin{array}{llr}\cos(a+a)&=\cos(a)\cos(a)-\sin(a)\sin(a)&\\\cos(2a)&=\cos^2(a)-\sin^2(a)&\\&&\square\end{array}$

Finalement, la formule 6 nous permet de créer ces deux dernières formules liées aux carrés des fonctions sinus et cosinus qui serviront en calcul intégral.

En voici les démonstrations :

Sachant que $\boxed{\sin^2(a)=1-\cos^2(a)}$ , on peut la remplacer dans la formule 6, $\boxed{\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)}$ , pour obtenir

$\begin{array}{rlr}\cos(2a)&=\cos^2(a)-(1-\cos^2(a))&\\\cos(2a)&=\cos^2(a)-1+\cos^2(a)&\\\cos(2a)&=2\cos^2(a)-1&\\2\cos^2(a)&=1+\cos(2a)&\\\cos^2(a)&=\dfrac{1+\cos(2a)}{2}&\\&&\square\end{array}$
Sachant que $\boxed{\cos^2(a)=1-\sin^2(a)}$ , on peut la remplacer dans la formule 6, $\boxed{\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)}$ , pour obtenir

$\begin{array}{rlr}\cos(2a)&=(1-\sin^2(a))-\sin^2(a)&\\\cos(2a)&=1-2\sin^2(a)&\\2\sin^2(a)&=1-\cos(2a)&\\\sin^2(a)&=\dfrac{1-\cos(2a)}{2}&\\&&\square\end{array}$

Exemple : On peut calculer la valeur de $\cos\left(\frac{11\pi}{8}\right)$ avec la formule 7 et la valeur du cosinus d'angles remarquables. En effet, en posant

$\theta = \dfrac{11\pi}{8}$ , on a $(2\theta) = \dfrac{11\pi}{4}$ et sachant que $\cos^2(\theta)=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2},$

on obtient :

$\begin{array}{ll}\cos\left(\frac{11\pi}{8}\right)&=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\left(\frac{11\pi}{4}\right)}{2}}\\[1em]&=\pm\sqrt{\dfrac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \\[1em]&=\pm\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}\\[1em]&=\pm\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\end{array}$

Finalement, on détermine le signe de $\cos\left(\frac{11\pi}{8}\right)$ en plaçant un point sur le cercle trigonométrique situé à un angle de $\frac{11\pi}{8}$ , soit dans le troisième quadrant. Par conséquent, on aura une valeur négative.

Ainsi, $\cos\left(\frac{11\pi}{8}\right) =-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ .

Exercices formatifs WeBWorK

Formules d'addition d'angles

5. Démonstration d'une identité

On peut démontrer des identités plus complexes à l'aide des définitions des fonctions trigonométriques et des identités et formules démontrées précédemment. Il n'existe pas de démarche infaillible pour démontrer une identité, il faut souvent utiliser son intuition et son imagination, en se laissant guider par les opérations présentées et par les identités connues. En voici quelques exemples :

Exemples : Démontrons les identités suivantes.

a) $\dfrac{\cos(x)}{1-\sin(x)}=\sec(x)+\tan(x)$ .

Il faut tout d'abord exprimer tous les membres de cette équation en terme de sinus et cosinus. Nous allons développer le membre de droite de cette égalité, c'est-à-dire le transformer pour obtenir le membre de gauche.

$\begin{array}{ll}\sec(x)+\tan(x)&\\[0.7em]=\dfrac{1}{\cos(x)}+\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}&\small{\text{; définition de }\tan(x)\text{ et }\sec(x)}\\[1em]=\dfrac{1+\sin(x)}{\cos(x)}&\\[1em]=\dfrac{(1+\sin(x))}{\cos(x)}\cdot\dfrac{(1-\sin(x))}{(1-\sin(x))}&\small\text{; multiplication par le conjugué du numérateur}\\[1em]=\dfrac{1-\sin^2(x)}{\cos(x)(1-\sin(x))}&\small ;\;(1+\sin(x))(1-\sin(x))=1-\sin^2(x)\\[1em]=\dfrac{\cos^2(x)}{\cos(x)(1-\sin(x))}&\small{\text{; identité }\cos^2(x)=1-\sin^2(x)}\\[1em]=\dfrac{\cos(x)}{1-\sin(x)}&\small{\text{; simplication par }\cos(x)}\\&\square\end{array}$

L'identité est vérifiée.

b) $\cos^4(a)-\sin^4(a)=\cos(2a)$ .

Nous allons développer le membre de gauche de cette égalité pour obtenir celui de droite, car il est plus complexe, et par le fait même, peut se transformer plus facilement.

$\begin{array}{ll}\cos^4(a)-\sin^4(a)&\\[1em]=\left(\cos^2(a)+\sin^2(a)\right)\left(\cos^2(a)-\sin^2(a)\right)&\small\text{; il s'agit d'une différence de carrés}\\&\;\small u^2-v^2=(u+v)(u-v)\\&\small{\text{ où }u=\cos^2(a)\text{ et }v=\sin^2(a)}\\=(1)(\cos(2a))&\small{\text{; identités }\cos^2(a)+\sin^2(a)=1}\\&\;\small{\text{ et }\cos^2(a)-\sin^2(a)=\cos(2a)}\\=\cos(2a)&\\&\square\end{array}$

L'identité est vérifiée.

c) $\dfrac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)}=\tan(\theta)$

Nous allons développer le membre de gauche de cette égalité pour obtenir celui de droite, pour les mêmes raisons qu'à l'exemple précédent.

Tout d'abord, observons les identités connues qui pourraient nous être utiles, car elles contiennent des expressions qui se trouvent également dans l'identité à démontrer :

$\begin{array}{lr}\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)&(1)\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)&(2)\\\cos^2(a)=\dfrac{1+\cos(2a)}{2} \Rightarrow 1+\cos(2a)=2\cos^2(a)&(3)\end{array}$