2.5 Fonctions exponentielles et logarithmiques: Équations contenant des fonctions exponentielles et logarithmiques

7. Équations contenant des fonctions exponentielles et logarithmiques

Dans une équation exponentielle, la variable qui se retrouve en exposant ne peut pas être isolée à l'aide des opérations arithmétiques de base $(+,\;-,\;\times,\;\div)$ . De même, lorsqu'une équation comporte un ou plusieurs logarithmes, il faut d'abord effectuer une transformation pour faire disparaître ce dernier. Voici différentes catégories d'équations contenant des expressions exponentielles ou des logarithmes qui seront résolues dans cette page.

Des équations contenant des expressions exponentielles qu'on peut ramener à une base commune.
Des équations contenant des logarithmes de la forme :
- $\log_a x = y$ , comme
- $\log_a x = \log_a y$ , comme
Des équations exponentielles que l'on peut résoudre à l'aide des logarithmes.

Nous aurons besoin des différentes propriétés des logarithmes vues dans les sections précédentes. Voici un tableau résumant ces propriétés.

1. $\log_a(a^x) = x \qquad x\in\mathbb{R}$

2. $a^{\log_a x} = x \qquad x>0$

3. $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \qquad x>0, y>0$

4. $\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x - \log_a y \qquad x>0, y>0$

5. $\log_a(x^n)=n\log_a x \qquad x>0 \text{ et }n \in \mathbb{R}$

6. $\log_a 1 = 0$

7. $\log_a a = 1$

8. $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}\qquad x>0$

Les équations contenant des expressions exponentielles qu'on peut ramener à une base commune

La propriété suivante dit que pour deux fonctions exponentielles égales, si les bases sont identiques, alors les exposants doivent être égaux.

$a^x=a^y \Leftrightarrow x=y$

Nous allons résoudre les équations suivantes à l'aide de cette propriété.

a) Résoudre l'équation $2^{x^2-3}=64$ .

solution On peut exprimer $64$ comme une puissance de $2$ , ainsi :

$\begin{array}{cl}2^{x^2-3}=64&\Leftrightarrow 2^{x^2-3}=2^6\\&\Leftrightarrow x^2-3=6\\&\Leftrightarrow x^2-9 = 0\\&\Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0 \end{array}$

Les solutions de cette équation sont $\boxed{x=3}$ et $\boxed{x=-3}$ .

b) Résoudre l'équation $3^{x+1}=\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x-2}$ .

solution Résoudre cette équation signifie isoler le $x$ situé dans les exposants. Tout d'abord, il faut transformer les deux membres de l'égalité pour les mettre sur une base commune, soit $3$ .

$\begin{array}{cll} 3^{x+1}=\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x-2} &\Leftrightarrow 3^{x+1}=\left(3^{-3}\right)^{x-2} &;\small{\text{ car } \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}}\\&\Leftrightarrow 3^{x+1}=3^{-3(x-2)}&;\small{\text{ car } (a^n)^m=a^{nm}}\\&\Leftrightarrow x+1=-3x+6&;\small\text{ propriété }\\&\Leftrightarrow 4x=5&\\&\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}&\end{array}$

La solution de cette équation est $\boxed{x=\dfrac{5}{4}}$ .

Les équations contenant des logarithmes

Nous avons vu qu'un logarithme n'est rien d'autre qu'un exposant. La définition de logarithme permet ainsi de transformer l'équation logarithmique en une équation exponentielle.

$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$

Cette égalité se traduit par la phrase suivante : « $\pmb{y}$ , le logarithme, est l'exposant que l'on doit attribuer à $\pmb{a}$ pour obtenir $\pmb{x}$ ».

Nous allons résoudre les équations suivantes à l'aide de cette définition.

a) Résoudre l'équation $\log_5 125 = x$ .

solution On sait que $\log_5 125 = x \Leftrightarrow 5^x = 125$

Comme $5^3 = 125$ , alors $\boxed{x=3}$ .

texte b) Résoudre l'équation $\ln\sqrt{e}=x+1$ .

solution On sait que

$\ln\sqrt{e} =\log_e\left(e^{\frac{1}{2}}\right) = x+1 \Leftrightarrow e^{x+1}=e^{\frac{1}{2}}$ .

Alors, on a que $x+1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$ .

c) Résoudre l'équation $\log(3x+10)=2$ .

solution On sait que

$\log(3x+10)=\log_{10}(3x+10)=2 \Leftrightarrow 10^2 = 3x+10$ .

Alors, on a que $100=3x+10\Rightarrow x=\dfrac{100-10}{3}\Rightarrow\boxed{x=30}$ .

Si les deux membres de l'égalité contiennent des logarithmes de même base, on peut utiliser la propriété de la fonction logarithmique suivante :

$\log_a x=\log_a y \Leftrightarrow x=y$

Nous allons résoudre l'équation $\log(4x-1)-2\log(x)=\log(3)$ à l'aide de cette propriété.

solution La solution de cette équation doit faire partie du domaine de l'équation, donc respecter les conditions suivantes :

$4x-1>0$ , soit si $x>\frac{1}{4}$ , pour respecter le domaine de $\log(4x-1)$ .
$x>0$ , pour respecter le domaine de $\log(x)$ .

Le domaine de l'équation est dont $\left]\frac{1}{4},\infty\right[$ et la solution doit faire partie de ce domaine.

On résout l'équation de la façon suivante :

$\begin{array}{cll}\log(4x-1)-2\log(x)=\log(3)&\Leftrightarrow \log(4x-1)-\log(x^2)=\log(3)&;\small\text{ car }\log(x^r)=r\log(x)\\ &\Leftrightarrow \log\left(\dfrac{4x-1}{x^2}\right)=\log(3)&;\small{\text{ car } \log\left(\frac{x}{y}\right)=\log(x) - \log(y)}\\&\Leftrightarrow \dfrac{4x-1}{x^2}=3&;\small\text{ par la propriété }\\&\Leftrightarrow 4x-1=3x^2&;\small{\text{ si }x\neq 0}\\&\Leftrightarrow 0=3x^2-4x+1&\\&\Leftrightarrow 0=3x^2-3x-x+1&\\&\Leftrightarrow 0=3x(x-1)-(x-1)&\\&\Leftrightarrow 0=(x-1)(3x-1) \end{array}$

Les solutions de cette équation sont $\boxed{x=1}$ et $\boxed{x=\dfrac{1}{3}}$ , car elles font parties du domaine.

Les équations exponentielles que l'on peut résoudre à l'aide des logarithmes

Si l'on veut résoudre une équation contenant des exponentielles où il est impossible de trouver une base commune, il faut utiliser la propriété suivante :

$\begin{array}{rl}x^r = y^s &\Leftrightarrow \log_a(x^r)=\log_a(y^s)\\&\Leftrightarrow r\log_a(x)=s\log_a(y)\end{array}$

$\text{où } x>0,x\neq1,y>0\text{ et }y\neq1$

Nous allons résoudre l'équation $5^x\left(2^{5x+1}\right)=3$ .

solution On ne peut pas trouver de base commune à 5 et 2. On utilise donc la propriété précédente en calculant le logarithme décimal à chaque membre de l'égalité.

$\begin{array}{rll}5^x\left(2^{5x+1}\right)&=3&\\\log\Big(5^x\left(2^{5x+1}\right)\Big)&=\log 3&\\\log(5^x)+\log(2^{5x+1})&=\log 3&;\small{\text{ car }\log(xy)=\log x+\log y}\\x\log 5+(5x+1)\log 2&=\log 3&;\small{\text{ car }\log x^r=r\log x}\\x\log 5+5x\log 2+\log 2&=\log 3&\\x\log 5+5x\log 2&=\log 3-\log 2&;\small\text{ on isole les constantes du coté droit de l'égalité}\\x\left(\log 5+5\log 2\right)&=\log 3-\log 2&;\small{\text{ mise en évidence de } x}\\x=\dfrac{\log 3-\log 2}{\log 5+\log(2^5)}&\end{array}$

La solution de l'équation est $\boxed{x=\dfrac{\log 3-\log 2}{\log 5+\log(2^5)}}$ ou, en simplifiant à l'aide des propriétés des logarithmes, $x=\dfrac{\log\left(\frac{3}{2}\right)}{\log\left(5(2^5)\right)}$ .

Pour le plaisir, on pourrait également exprimer cette solution à l'aide d'un seul logarithme en utilisant la formule de changement de base et le fait que $5(2^5)=160$ .

$\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} \Rightarrow x=\dfrac{\log\left(\frac{3}{2}\right)}{\log\left(5(2^5)\right)}=\log_{160}\left(\dfrac{3}{2}\right)$

Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)