2.5 Fonctions exponentielles et logarithmiques

Supposons qu'un troupeau d'éléphants double à tous les 6 ans. Si le troupeau compte 7 éléphants en 2010,

en 2016 (6 ans plus tard) la population du troupeau sera de $2 \times 7=14$ éléphants (elle aura doublé),

en 2022, la population du troupeau sera de $2\times 14 = 28$ éléphants ou bien $2(2\times 7)=2^2(7)=28$,

en 2028, la population du troupeau sera de $2 \times 28 = 56$ éléphants ou bien $2(2^2 \times 7)=2^3(7)=56$,

...

après $x$ période(s) de 6 années, la population du troupeau sera de $2^x(7)$ éléphants.

La variable $x$ représente le temps et elle est l'exposant dans l'expression ci-dessus. Par conséquent, on dira que la population du troupeau d'éléphants varie en fonction du temps et selon un modèle exponentiel.

La population $P$ d'éléphants varie donc en fonction du temps $x$ par un modèle exponentiel décrit par l'équation $P(x)=2^x(7)$.

Toutes ces fonctions ont comme point commun $\left({0,1}\right)$, car si l'exposant est $0$, alors

$f(0)=a^0=1$
pour toute valeur positive de $a$.

• Si $a=1$, la fonction obtenue est la droite horizontale $y=1$, car $1^x=1$ quelle que soit la valeur de l'exposant réel.

Déplacez le curseur vertical à droite afin de remarquer l'effet obtenu sur le graphique en augmentant ou en diminuant la valeur de la base $a$.

• Si $a > 1$ (au dessus de la ligne rose)
• La fonction est croissante sur le domaine $\mathbb{R}$.
• Les valeurs de $a^x$ sont strictement positives, ainsi l'image est$\left]{0, \infty}\right[$. Cela signifie que la fonction possède l'axe des $x$ comme asymptote horizontale.
• Si $0 < a < 1$
• On peut remarquer qu'étant donné que $\left({\frac{1}{a}}\right)^x=\frac{1}{a^x}=a^{-x}$, le graphique de $y=\left({\frac{1}{a}}\right)^x$ est une réflexion du graphique de $y=a^x$ par rapport à l'axe des $y$ (voir la section : Transformations de fonctions).
• La fonction est décroissante sur le domaine $\mathbb{R}$.
• Son image est $\left]{0,\infty}\right[$.

Fonction exponentielle $f(x)=e^x$

Faites apparaître la fonction exponentielle $y=e^x$ en cochant la case associée. La courbe représentant cette fonction est en vert. Cette fonction possède des propriétés bien spéciales que nous explorons dans la section suivante.

Pour l'instant, en déplaçant le curseur vertical pour déplacer la courbe rouge de plus en plus près de la courbe verte, vous obtenez une petite approximation de la valeur de cette base $a = e$.

Vous remarquez que la valeur de $e$ est très proche de $2,7$. En fait, ce nombre est irrationnel, donc son développement décimal n'est pas périodique. On l'appelle le nombre d'Euler et sa valeur approximative est :

Un placement d'argent à la banque engendre des intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période, les intérêts sont ajoutés au placement afin de générer de nouveaux intérêts.

Même si ce n'est pas représentatif de la réalité, si l'on investit une somme de 1 $ à un taux d'intérêt annuel de 100 % et si les intérêts sont calculés une fois par année, la valeur de ce placement à la fin de l'année est de :

Vous avez fait 1 $ d'intérêt sur votre 1 $ de placement.

Mais si les intérêts annuels de 100 % sont calculées 2 fois par année (aux 6 mois), la valeur du placement à la fin de l'année se calcule ainsi :

• après 6 mois : 1 $ + 1 × 50 % = 1 + 0,5 = 1,50 $
• après 12 mois : 1,50 $ + 1,50 × 50 % = 1,50 (1 + 0,5) = 1,50 × 1,5 = 2,25 $

Complétez maintenant le tableau suivant :

Vous pouvez comparer vos réponses avec l'application Geogebra suivante :

Elle évalue l'expression de la dernière ligne pour différentes valeurs de n. Déplacez le curseur n afin de faire augmenter sa valeur ou, tout simplement, entrez la valeur de n désirée dans le champ de saisie. De quelle valeur l'expression $\left({1+\frac{1}{n}}\right)^n$ se rapproche-t-elle lorsque la valeur de n est de plus en plus grande ?

La réponse est le nombre d'Euler $e = 2,71828182...$

En effet, si l'on investit une somme de 1 $ à un taux d'intérêt annuel de 100 % et que les intérêts sont calculés de façon continue, cela signifie que n prend des valeurs infiniment grandes, ainsi la valeur de notre placement à la fin de l'année sera :

Si log(10) = 1 et log(100) = 2, alors on imagine que pour tout nombre $x$ situé entre 10 et 100, log(x) est situé entre 1 et 2. En effet, log(25) = 1,397...

Ainsi, log est une fonction qui associe une valeur log(x) (l'exposant de 10) à chaque valeur de $x$ donnée. On peut construire la courbe représentative de la fonction logarithmique de base 10 pour les valeurs de $x$ strictement positives.

Par exemple, on sait que log(10)=1, log(10²)=2 et log(10³)=3. On peut donc écrire

$\begin{array}{lrcl}&\log(10)+\log(10^2)&=&1+2=3\\\Rightarrow&\log(10)+\log(10^2)&=&\log(10^3)\end{array}$

De plus, on sait que 10³ = 10 × 10². Alors on peut conclure que

$\log(10)+\log(10^2)=\log(10\times 10^2)$

Voici quelques exemples d'applications des propriétés précédentes.

1. Exprimons les expressions suivantes par un seul logarithme.

   $\begin{array}{lrl}\text{a) }&3\log x + \log (x^2-1)-\frac{1}{2}\log (x+2)&=\log (x^3)+\log (x^2-1)-\log\left(\sqrt{x+2}\right)\\&&=\log\left(\dfrac{x^3(x^2-1)}{\sqrt{x+2}}\right)\end{array}$

   $\begin{array}{lrlr}\text{b) }&\dfrac{\log 5}{\log 100}+\log 1 &= \dfrac{\log 5}{\log_{10}(10^2)}+\log_{10}(10^0)&;\small\text{ attention: } \frac{\log a}{\log b}\neq\log a-\log b \\[0.8em]&&= \dfrac{\log 5}{2} + 0&\\[0.8em] &&=\frac{1}{2}(\log 5)&\\[0.8em]&&=\log\sqrt{5}&\end{array}$

   ---

2. En posant $\log 2=x$ et $\log 3=y$, exprimons les logarithmes suivants en fonction de $x$ et $y$.

   $\begin{array}{lrl}\text{a) }&\log\dfrac{8}{9}&=\log 8-\log 9\\[0.8em]&&=\log 2^3-\log 3^2\\[0.8em]&&=3\log 2 - 2\log 3\\[0.8em]&&=3x-2y \end{array}$

   $\begin{array}{lrlr}\text{b) }&\log\sqrt{120}&=\dfrac{1}{2}\log(4\times 3\times 10)&\\[0.8em]&&=\dfrac{1}{2}\left(\log 4 + \log 3 + \log 10\right)&\\[0.8em]&&=\dfrac{1}{2}\left(\log 2^2 +\log 3 + 1\right)&;\small\text{ car } \log_{10} 10 = 1\\[0.8em]&&=\dfrac{1}{2}\left(2\log 2+\log 3 + 1\right)&\\[0.8em]&&=\dfrac{1}{2}\left(2x+y+1\right)& \end{array}$

a) Calculons le produit suivant :

$193 \times 55$

Si $\log(193) = 2,28556$ et $\log(55)=1,74036$, alors

$\begin{array}{ll}\log(193\times55)&=\log(193) + \log(55)\\&=2,28556 + 1,74036\\&=4,02592\end{array}$

En lisant sur une table de logarithmes, on trouve que

$\log(10615) = 4,02592$

On peut ainsi conclure que

$193 \times 55=10615$

b) Donnons une approximation du nombre

$9^{105}$

À la calculatrice, ce calcul est impossible, mais en utilisant les propriétés des logarithmes, on peut approximer ce nombre. En effet,

$\log\left({9^{105}}\right)=105\log(9)$

Comme $\log(9)=0,9542425$, alors

$\begin{array}{rl}\log\left({9^{105}}\right)&=105\times0,9542425\\&=100,19546\\&=\pmb{0,19546}+\log\left({10^{100}}\right)\end{array}$

Pour trouver notre nombre, on va avoir besoin de trouver le nombre dont le logarithme correspond à $\pmb{0,19546}$. En lisant sur une table de logarithme, on trouve que

$\log(1,5684)=0,19546 \qquad \text{, car} \qquad 10^{0,19546} \approx 1,5684$

On peut donc conclure que

$\log\left({9^{105}}\right)=\log(1,5684) + \log(10^{100})=\log\left({1,5684\times10^{100}}\right)$

et donc

$9^{105}\approx 1,5684\times10^{100}.$

$\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2} \approx 2,32$

Donc, on peut dire que $2^{2,32} \approx 5.$

Toutes ces fonctions ont comme point commun $\left({1,0}\right)$, car si l'exposant est $0$, alors

$\log 1 = 0$, car $a^0=1$
pour toutes valeurs positives de $a.$

De plus, $\text{dom }f = \left]{0, \infty}\right[$. Cela signifie que la fonction possède une asymptote verticale, soit l'axe des $y$. Finalement, il n'y a ni minimum, ni maximum, de sorte que l'image de la fonction est $\mathbb{R}.$

Déplacez le curseur vertical à droite afin de noter l'effet sur le graphique de l'augmentation et de la diminution de la base $a$.

• Si $a > 1$, la fonction est croissante sur le domaine.
• Si $0 < a < 1$, la fonction est décroissante sur le domaine.

Fonction logarithmique naturel $f(x)=\ln x$

Faites apparaître la fonction logarithmique $y=\ln x$ en cochant la case associée. La courbe représentant cette fonction est en vert. En déplaçant le curseur vertical pour que la courbe rouge se rapproche de plus en plus de la courbe verte, vous remarquez que la base $a$ s'approche du nombre d'Euler $e \approx 2,71$. Le logarithme naturel est en fait le logarithmique de base $e$.

Ainsi, la fonction $y=\ln x$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $y = e^x$. On peut en déduire que

Trouvons le domaine de la fonction $f(x)=\log(x^2+5x-6)$.

solution Puisque la fonction $\log$ est définie seulement sur les réels positifs, c'est-à-dire sur $\left]0,+\infty\right[$, il faut que la fonction « à l'intérieur » du $\log$ appartienne à cet intervalle.

On peut exprimer notre fonction composée par $f(x)=\log\left(g(x)\right)$ où $g(x)=x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$.

Ainsi, il faut trouver les valeurs de $x$ pour que $g(x)=(x+6)(x-1)\in\left]0,+\infty\right[$. Il faut donc résoudre l'inéquation

$(x+6)(x-1)>0.$

À partir du graphique de la fonction quadratique, on a que $g$ est strictement positive si $x$ et $x>1$.

De plus, comme $g$ est définie sur les réels, on a que le domaine de $f$ est $\left]-\infty,-6\right[\cup\left]1,+\infty\right[$.

Nous allons résoudre les équations suivantes à l'aide de cette propriété.

a) Résoudre l'équation $2^{x^2-3}=64$.

solution On peut exprimer $64$ comme une puissance de $2$, ainsi :

$\begin{array}{cl}2^{x^2-3}=64&\Leftrightarrow 2^{x^2-3}=2^6\\&\Leftrightarrow x^2-3=6\\&\Leftrightarrow x^2-9 = 0\\&\Leftrightarrow (x-3)(x+3)=0 \end{array}$

Les solutions de cette équation sont $\boxed{x=3}$ et $\boxed{x=-3}$.

b) Résoudre l'équation $3^{x+1}=\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x-2}$.

solution Résoudre cette équation signifie isoler le $x$ situé dans les exposants. Tout d'abord, il faut transformer les deux membres de l'égalité pour les mettre sur une base commune, soit $3$.

$\begin{array}{cll} 3^{x+1}=\left(\dfrac{1}{27}\right)^{x-2} &\Leftrightarrow 3^{x+1}=\left(3^{-3}\right)^{x-2} &;\small{\text{ car } \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}}\\&\Leftrightarrow 3^{x+1}=3^{-3(x-2)}&;\small{\text{ car } (a^n)^m=a^{nm}}\\&\Leftrightarrow x+1=-3x+6&;\small\text{ propriété }\\&\Leftrightarrow 4x=5&\\&\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}&\end{array}$

La solution de cette équation est $\boxed{x=\dfrac{5}{4}}$.

Nous allons résoudre les équations suivantes à l'aide de cette définition.

a) Résoudre l'équation $\log_5 125 = x$.

solution On sait que $\log_5 125 = x \Leftrightarrow 5^x = 125$

Comme $5^3 = 125$, alors $\boxed{x=3}$.

b) Résoudre l'équation $\ln\sqrt{e}=x+1$.

solution On sait que

$\ln\sqrt{e} =\log_e\left(e^{\frac{1}{2}}\right) = x+1 \Leftrightarrow e^{x+1}=e^{\frac{1}{2}}$.

Alors, on a que $x+1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\boxed{x=-\dfrac{1}{2}}$.

c) Résoudre l'équation $\log(3x+10)=2$.

solution On sait que

$\log(3x+10)=\log_{10}(3x+10)=2 \Leftrightarrow 10^2 = 3x+10$.

Alors, on a que $100=3x+10\Rightarrow x=\dfrac{100-10}{3}\Rightarrow\boxed{x=30}$.

Nous allons résoudre l'équation $\log(4x-1)-2\log(x)=\log(3)$ à l'aide de cette propriété.

solution La solution de cette équation doit faire partie du domaine de l'équation, donc respecter les conditions suivantes :

1. $4x-1>0$, soit si $x>\frac{1}{4}$, pour respecter le domaine de $\log(4x-1)$.
2. $x>0$, pour respecter le domaine de $\log(x)$.

Le domaine de l'équation est dont $\left]\frac{1}{4},\infty\right[$ et la solution doit faire partie de ce domaine.

On résout l'équation de la façon suivante :

$\begin{array}{cll}\log(4x-1)-2\log(x)=\log(3)&\Leftrightarrow \log(4x-1)-\log(x^2)=\log(3)&;\small\text{ car }\log(x^r)=r\log(x)\\ &\Leftrightarrow \log\left(\dfrac{4x-1}{x^2}\right)=\log(3)&;\small{\text{ car } \log\left(\frac{x}{y}\right)=\log(x) - \log(y)}\\&\Leftrightarrow \dfrac{4x-1}{x^2}=3&;\small\text{ par la propriété }\\&\Leftrightarrow 4x-1=3x^2&;\small{\text{ si }x\neq 0}\\&\Leftrightarrow 0=3x^2-4x+1&\\&\Leftrightarrow 0=3x^2-3x-x+1&\\&\Leftrightarrow 0=3x(x-1)-(x-1)&\\&\Leftrightarrow 0=(x-1)(3x-1) \end{array}$

Les solutions de cette équation sont $\boxed{x=1}$ et $\boxed{x=\dfrac{1}{3}}$, car elles font parties du domaine.

Nous allons résoudre l'équation $5^x\left(2^{5x+1}\right)=3$.

solution On ne peut pas trouver de base commune à 5 et 2. On utilise donc la propriété précédente en calculant le logarithme décimal à chaque membre de l'égalité.

$\begin{array}{rll}5^x\left(2^{5x+1}\right)&=3&\\\log\Big(5^x\left(2^{5x+1}\right)\Big)&=\log 3&\\\log(5^x)+\log(2^{5x+1})&=\log 3&;\small{\text{ car }\log(xy)=\log x+\log y}\\x\log 5+(5x+1)\log 2&=\log 3&;\small{\text{ car }\log x^r=r\log x}\\x\log 5+5x\log 2+\log 2&=\log 3&\\x\log 5+5x\log 2&=\log 3-\log 2&;\small\text{ on isole les constantes du coté droit de l'égalité}\\x\left(\log 5+5\log 2\right)&=\log 3-\log 2&;\small{\text{ mise en évidence de } x}\\x=\dfrac{\log 3-\log 2}{\log 5+\log(2^5)}&\end{array}$

La solution de l'équation est $\boxed{x=\dfrac{\log 3-\log 2}{\log 5+\log(2^5)}}$ ou, en simplifiant à l'aide des propriétés des logarithmes, $x=\dfrac{\log\left(\frac{3}{2}\right)}{\log\left(5(2^5)\right)}$.

Pour le plaisir, on pourrait également exprimer cette solution à l'aide d'un seul logarithme en utilisant la formule de changement de base et le fait que $5(2^5)=160$.

$\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b} \Rightarrow x=\dfrac{\log\left(\frac{3}{2}\right)}{\log\left(5(2^5)\right)}=\log_{160}\left(\dfrac{3}{2}\right)$