2.5 Fonctions exponentielles et logarithmiques: Fonction logarithmique

6. Fonction logarithmique

La fonction logarithmique est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Si $a>0$ et $a \neq 1$ , la fonction exponentielle $f(x) = a^x$ possède une fonction réciproque $f^{-1}$ , qu'on appelle la fonction logarithmique de base $\pmb{a}$ et que l'on note $\log_a$ .

Par définition de la fonction réciproque, le graphique de la fonction logarithmique est la réflexion des points du graphique de la fonction exponentielle par rapport à la droite $y=x$ . Par conséquent, on aura :

$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y= x$

De plus, sachant que deux fonctions réciproques sont telles que $f^{-1}\left(f(x)\right) = x$ et $f\left( f^{-1}(x)\right) = x$ , on peut déduire deux autres propriétés des logarithmiques.

$\log_a\left(a^x\right) = x$

$a^{\log_a x}=x, \quad \text{où } x>0$

Ces deux dernières propriétés nous permettent de créer la formule de changement de base suivante :

$\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$

Preuve :

$\begin{array}{lrcl} &b^{\log_b x} &=&x \\ \Rightarrow & \log_a \left(b^{\log_b x} \right)&=&\log_a x \\ \Rightarrow & \left( \log_b x \right) \left(\log_a b\right) &=&\log_a x \\ \Rightarrow& \log_b x &=&\dfrac{\log_a x}{\log_a b} \end{array}$

La formule de changement de base est utile pour calculer, à l'aide de la calculatrice, des valeurs comme $\log_2 5$ en utilisant le logarithme décimal $\log_{10} x =\log x$ ou le logarithme naturel $\log_e x = \ln x$ . En effet,

$\log_2 5 = \dfrac{\log 5}{\log 2} \approx 2,32$

Donc, on peut dire que $2^{2,32} \approx 5.$

Représentations des fonctions logarithmiques

Il existe deux types de fonctions logarithmiques $y=\log_a x$ , celles pour lesquelles $0 < a < 1$ et celles pour lesquelles $a > 1.$ À partir du graphique Geogebra suivant, étudions plus en détails les caractéristiques des fonctions logarithmiques pour ces différentes valeurs positives de $a$ .

Toutes ces fonctions ont comme point commun $\left({1,0}\right)$ , car si l'exposant est $0$ , alors

$\log 1 = 0$ , car $a^0=1$
pour toutes valeurs positives de $a.$

De plus, $\text{dom }f = \left]{0, \infty}\right[$ . Cela signifie que la fonction possède une asymptote verticale, soit l'axe des $y$ . Finalement, il n'y a ni minimum, ni maximum, de sorte que l'image de la fonction est $\mathbb{R}.$

Déplacez le curseur vertical à droite afin de noter l'effet sur le graphique de l'augmentation et de la diminution de la base $a$ .

Si $a > 1$ , la fonction est croissante sur le domaine.
Si $0 < a < 1$ , la fonction est décroissante sur le domaine.

Fonction logarithmique naturel $f(x)=\ln x$

Faites apparaître la fonction logarithmique $y=\ln x$ en cochant la case associée. La courbe représentant cette fonction est en vert. En déplaçant le curseur vertical pour que la courbe rouge se rapproche de plus en plus de la courbe verte, vous remarquez que la base $a$ s'approche du nombre d'Euler $e \approx 2,71$ . Le logarithme naturel est en fait le logarithmique de base $e$ .

$\log_e x = \ln x$

Ainsi, la fonction $y=\ln x$ est la fonction réciproque de la fonction exponentielle $y = e^x$ . On peut en déduire que

Le domaine de fonctions logarithmiques composées

Dans une section précédente, nous avons vu les conditions à respecter pour trouver le domaine d'une fonction composée. Cliquez sur ce lien si vous désirez vous rafraîchir la mémoire. Pour trouver le domaine d'une fonction composée, il faut tenir compte du domaine de chacune des fonctions qui la compose. Voici un exemple où la fonction logarithmique fait partie d'une de ces fonctions.

Trouvons le domaine de la fonction $f(x)=\log(x^2+5x-6)$ .

solution Puisque la fonction $\log$ est définie seulement sur les réels positifs, c'est-à-dire sur $\left]0,+\infty\right[$ , il faut que la fonction « à l'intérieur » du $\log$ appartienne à cet intervalle.

On peut exprimer notre fonction composée par $f(x)=\log\left(g(x)\right)$ où $g(x)=x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$ .

Ainsi, il faut trouver les valeurs de $x$ pour que $g(x)=(x+6)(x-1)\in\left]0,+\infty\right[$ . Il faut donc résoudre l'inéquation

$(x+6)(x-1)>0.$

À partir du graphique de la fonction quadratique, on a que $g$ est strictement positive si $x$ et $x>1$ .

De plus, comme $g$ est définie sur les réels, on a que le domaine de $f$ est $\left]-\infty,-6\right[\cup\left]1,+\infty\right[$ .

Centre d'Aide en Mathéma-TIC (CAM-TIC)