2.5 Fonctions exponentielles et logarithmiques: Logarithme et ses propriétés

4. Logarithme et ses propriétés

Les origines du logarithme

John Napier

Au XVI^e siècle, les calculatrices n'existaient évidemment pas encore et les nombres décimaux n'étaient pas d'usage courant. Pourtant, l'astronomie, la navigation et le commerce demandaient d'effectuer des opérations de plus en plus complexes avec des nombres très élevés. C'est ainsi que le mathématicien John Napier, aussi connu sous le nom francisé de Neper, publie en 1614 un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme.

Au départ, Neper a développé les logarithmes pour simplifier les calculs de trigonométrie utiles en astronomie. Il donne ainsi une première table des logarithmes des sinus d'angles. L'astronome écossais Jost Bürgi aurait également inventé les logarithmes au même moment et indépendamment, mais sa publication est postérieure.

Toutefois, les logarithmes ne trouveront leur essor dans la communauté scientifique qu'après la mort de Napier. Le mathématicien anglais Henry Briggs (1561-1630) imagina un autre système de logarithmes en base 10, aussi appelés logarithmes vulgaires ou décimaux, qui seront rapidement adoptées par tous.

Pour comprendre comment fonctionnait ces calculs, il faut d'abord définir les logarithmes.

Commençons avec le logarithme en base 10. On décida de définir les logarithmes décimaux, noté $\log$ , comme les exposants de 10. Ainsi,

$10^n =x \Leftrightarrow \log(x) = n$

Par exemple,

$\begin{array}{lcl}\log(1)=0 &\;\text{, car}&10^0=1\\\log(100)=2&\;\text{, car}&10^2=100\\\log(10000)=4&\;\text{, car}&10^4=10000\\\log(0,001)=-3&\;\text{, car}&10^{-3}=0,001\end{array}$ .

On comprend bien cette définition avec des puissances positives et négatives de 10, mais $\log$ ne donne pas nécessairement une valeur entière. Par exemple,

Si log(10) = 1 et log(100) = 2, alors on imagine que pour tout nombre $x$ situé entre 10 et 100, log(x) est situé entre 1 et 2. En effet, log(25) = 1,397...

Ainsi, log est une fonction qui associe une valeur log(x) (l'exposant de 10) à chaque valeur de $x$ donnée. On peut construire la courbe représentative de la fonction logarithmique de base 10 pour les valeurs de $x$ strictement positives.

Propriétés des logarithmes

L'idée de départ de l'utilisation des logarithmes était de remplacer les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions afin de faciliter, rappelons-le, les calculs astronomiques à une époque où tout se faisait manuellement. Observons le tableau suivant.

La dernière ligne représente ce qu'on appelle une progression géométrique de raison 10 (10¹, 10², 10³, 10⁴) et la première ligne représente plutôt une progression arithmétique de raison 1 (1, 2, 3, 4). Tout simplement, lorsqu'on multiplie des puissances de 10 ensemble, il existe un lien d'addition entre leurs exposants. C'est ce que représente la propriété des exposants suivante :

$10^{n} \times 10^{m} = 10^{n+m}.$

Par exemple, on sait que log(10)=1, log(10²)=2 et log(10³)=3. On peut donc écrire

$\begin{array}{lrcl}&\log(10)+\log(10^2)&=&1+2=3\\\Rightarrow&\log(10)+\log(10^2)&=&\log(10^3)\end{array}$

De plus, on sait que 10³ = 10 × 10². Alors on peut conclure que

$\log(10)+\log(10^2)=\log(10\times 10^2)$

On peut généraliser cette propriété pour tout nombre réel positif et on peut également en déduire une propriété équivalente pour les soustractions de log.

Soit $a$ et $b$ , deux nombres réels strictement positifs, alors