2.5 Fonctions exponentielles et logarithmiques: Fonction exponentielle

2. Fonction exponentielle

Les fonctions exponentielles peuvent décrire plusieurs phénomènes importants en mathématiques appliquées et sont notamment utilisées pour prévoir la taille d'une population, pour déterminer l'âge d'un objet ancien en archéologie, pour calculer la valeur d'une hypothèque, etc.

Qu'ont en commun ces phénomènes et pourquoi peuvent-ils être décrits selon un modèle exponentiel? Considérons la situation suivante :

Supposons qu'un troupeau d'éléphants double à tous les 6 ans. Si le troupeau compte 7 éléphants en 2010,

en 2016 (6 ans plus tard) la population du troupeau sera de $2 \times 7=14$ éléphants (elle aura doublé),

en 2022, la population du troupeau sera de $2\times 14 = 28$ éléphants ou bien $2(2\times 7)=2^2(7)=28$ ,

en 2028, la population du troupeau sera de $2 \times 28 = 56$ éléphants ou bien $2(2^2 \times 7)=2^3(7)=56$ ,

...

après $x$ période(s) de 6 années, la population du troupeau sera de $2^x(7)$ éléphants.

La variable $x$ représente le temps et elle est l'exposant dans l'expression ci-dessus. Par conséquent, on dira que la population du troupeau d'éléphants varie en fonction du temps et selon un modèle exponentiel.

La population $P$ d'éléphants varie donc en fonction du temps $x$ par un modèle exponentiel décrit par l'équation $P(x)=2^x(7)$ .

De façon générale,

Une fonction exponentielle de base $a$ est une fonction de la forme

$f(x)=a^x$

où $a$ est une constante positive ( $a>0$ ).

Pour bien comprendre la fonction exponentielle et ses caractéristiques principales, il faut savoir manipuler adéquatement les propriétés des exposants entiers et rationnels. Dans cette section, nous faisons un rappel de ces propriétés, mais voici celles qui vous seront d'une grande utilité :

Si $a$ et $b$ sont des nombres positifs et $x$ et $y$ sont des nombres réels quelconques, alors

$\begin{array}{l@{ \hskip 5em}l} a^{x+y}=a^x a^y & a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y} \\[0.8em] a^{xy}=\left({a^x}\right)^y & a^x b^x = \left({ab}\right)^x \end{array}$

Par ces lois, on peut donner une explication logique à l'expression $a^x$ , où $a>0$ .

Si l'exposant est un entier positif $n$ , alors $a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots \cdot a}_{n \text{ fois}}$ ;
Si l'exposant est un entier négatif $-n$ , alors $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ ;
Si l'exposant est un nombre rationnel $p/q$ , où $q>0$ , alors $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}=\left({\sqrt[q]{a}}\right)^p$ .

Cependant, si l'exposant est un nombre irrationnel, quelle explication peut-on donner ? Analysons plus en détails la fonction $f(x) = 2^x$ afin de répondre à cette question. Dans la figure ci-dessus, les trous dans le graphique sont en fait les valeurs de $2^x$ lorsque $x$ est un nombre irrationnel. Ainsi, ces valeurs sont comprises entre deux autres valeurs de $2^x$ possédant des exposants rationnels.

Par exemple, cherchons la valeur du nombre $2^{\sqrt{2}}$ . On sait que

$1,4 < \sqrt{2} < 1,5,$

alors

$2^{1,4} < 2^{\sqrt{2}} < 2^{1,5}.$

Nous aurons de meilleures approximations de $2^{\sqrt{2}}$ si nous prenons des valeurs rationnelles de $x$ de plus en plus près de $\sqrt{2}$ .

$\begin{array}{rcccl} 2^{1,41}& < &2^{\sqrt{2}}&$

Représentations des fonctions exponentielles

Il existe deux types de fonctions exponentielles $y=a^x$ , celles dont $0 < a < 1$ et celles dont $a > 1$ . À partir du graphique Geogebra suivant, étudions plus en détails les caractéristiques des fonctions exponentielles pour différentes valeurs positives de $a$ .

Toutes ces fonctions ont comme point commun $\left({0,1}\right)$ , car si l'exposant est $0$ , alors

$f(0)=a^0=1$
pour toute valeur positive de $a$ .

Si $a=1$ , la fonction obtenue est la droite horizontale $y=1$ , car $1^x=1$ quelle que soit la valeur de l'exposant réel.

Déplacez le curseur vertical à droite afin de remarquer l'effet obtenu sur le graphique en augmentant ou en diminuant la valeur de la base $a$ .

Si $a > 1$ (au dessus de la ligne rose)

La fonction est croissante sur le domaine $\mathbb{R}$ .
Les valeurs de $a^x$ sont strictement positives, ainsi l'image est $\left]{0, \infty}\right[$ . Cela signifie que la fonction possède l'axe des $x$ comme asymptote horizontale.

Si $0 < a < 1$

On peut remarquer qu'étant donné que $\left({\frac{1}{a}}\right)^x=\frac{1}{a^x}=a^{-x}$ , le graphique de $y=\left({\frac{1}{a}}\right)^x$ est une réflexion du graphique de $y=a^x$ par rapport à l'axe des $y$ (voir la section : Transformations de fonctions).
La fonction est décroissante sur le domaine $\mathbb{R}$ .
Son image est $\left]{0,\infty}\right[$ .

Fonction exponentielle $f(x)=e^x$

Faites apparaître la fonction exponentielle $y=e^x$ en cochant la case associée. La courbe représentant cette fonction est en vert. Cette fonction possède des propriétés bien spéciales que nous explorons dans la section suivante.

Pour l'instant, en déplaçant le curseur vertical pour déplacer la courbe rouge de plus en plus près de la courbe verte, vous obtenez une petite approximation de la valeur de cette base $a = e$ .

Vous remarquez que la valeur de $e$ est très proche de $2,7$ . En fait, ce nombre est irrationnel, donc son développement décimal n'est pas périodique. On l'appelle le nombre d'Euler et sa valeur approximative est :

$e \approx 2,718 \: 281 \: 828 \: 459 \: 045 \: 235 \: 360 \: 287 \: 4...$

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Représentations des fonctions exponentielles

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