2.4 Opérations sur les fonctions
- Introduction
- Transformation de fonctions
- Composition de fonctions
- Réciproque d'une fonction
4. Réciproque d'une fonction
On utilise la réciproque d'une fonction lorsqu'on veut exprimer la variable en fonction de la variable , c'est-à-dire : . Par contre, ce ne sont pas toutes les fonctions qui possèdent une fonction réciproque.
Comparons les deux diagrammes sagittaux des fonctions et ci-dessous. On observe que pour chaque valeur de l'ensemble B, on associe une seule valeur de l'ensemble A. Ce n'est pas le cas pour la fonction . En effet, et , ce qui implique qu'il existe deux valeurs de associées à la même valeur de .
Ainsi, pour la fonction , la relation qui associe les variables de l'ensemble B aux variables de l'ensemble A ne respecte pas la définition d'une fonction.
On dira que est une fonction injective, et donc possède une fonction réciproque, notée . La fonction quant à elle n'est pas injective et ne possède donc pas de fonction réciproque.
Nous pouvons maintenant définir la réciproque d'une fonction de la façon suivante :
Afin de trouver la règle de la fonction réciproque de , il suffit de poser et d'isoler la variable .
Exemple
Déterminons si la fonction est injective. Si oui, trouvons la fonction réciproque de .
Pour toutes valeurs , on a que . En effet, en observant le graphique, on remarque que deux valeurs différentes de ne peuvent pas avoir la même image. De plus, le test de la droite horizontale confirme que est injective.
Afin de trouver la fonction réciproque de , procédons comme suit. Posons
Isolons la variable dans l'équation.
Ainsi, la fonction réciproque de est définie par .
De plus, la composition de la fonction et de la fonction réciproque nous donne la formule de réciprocité souhaitée :
Remplacer par pour trouver la fonction réciproque est également la méthode utilisée pour obtenir le graphique de à partir du graphique de .
Soit un point appartenant à la fonction , alors par définition si et seulement . Par conséquent le point appartient à la fonction réciproque .
On remarque dans la figure ci-dessous que l'on obtient le point par une réflexion du point par rapport à la droite .
Donc,
Fonction racine carrée définie comme réciproque de la fonction quadratique
On remarque que la fonction quadratique n'est pas une fonction injective sur son domaine, alors elle ne peut malheureusement pas avoir de fonction réciproque. En effet, pour une valeur de , il existe deux valeurs de distinctes.
Par contre, si l'on définit sur le domaine restreint , elle possède alors une fonction réciproque déterminée ainsi :
À partir du graphique Geogebra suivant, vous pouvez étudier la construction du graphique de la fonction à partir de la fonction où . Sa représentation correspond à la branche bleue de la parabole.