2.4 Opérations sur les fonctions
- Introduction
- Transformation de fonctions
- Composition de fonctions
- Réciproque d'une fonction
3. Composition de fonctions
La composition de fonctions est un processus qui combine deux fonctions pour en obtenir une nouvelle. La règle d'une fonction composée s'obtient par substitution.
Prenons, par exemple, deux fonctions et définies respectivement par et . Lorsqu'on veut calculer l'image de par la fonction composée de et , il faut d'abord calculer l'image de par la fonction , soit , et ensuite calculer l'image de par la fonction , soit . Ainsi,
La règle de la fonction composée est obtenue en substituant dans l'équation de la fonction .
Domaine d'une fonction composée
Pour déterminer le domaine de la fonction composée , il faut que soit définie pour les valeurs de qu'on lui donne, et que soit définie pour les valeurs de qu'on lui donne.
Ainsi, pour que soit définie en , c'est-à-dire que existe, il faut respecter ces deux conditions :
1. doit appartenir au domaine de .
2. doit appartenir au domaine de .
Dans l'exemple précédent, lorsque , on a , mais n'est pas définie en 4, car il y a division par zéro. Ainsi n'existe pas et par conséquent n'existe pas.
On a donc que n'appartient pas au domaine de la fonction composée et, pour les mêmes raisons, on aura aussi que n'appartient pas au domaine.
Exemple : Si et , déterminer la règle et le domaine des fonctions composées et .
-
Pour que soit définie, il faut que , c'est-à-dire que , donc que . Résolvons à l'aide d'un tableau de signes.
Par ce dernier exemple, nous pouvons remarquer que
À partir du graphique Geogebra ci-dessus, on remarque que le domaine d'une fonction composée n'est pas toujours ce que l'on croit.
On a que . En simplifiant, on obtient .
Or, on sait que le domaine de la droite est : .
Pourtant, le domaine de la fonction composée est : .
En effet, pour que appartienne au domaine de , il faut que
appartienne au domaine de , donc que .
En faisant bouger le point a sur le graphique de gauche, la trace de la fonction composée apparaît en bleue dans la fenêtre de droite pour créer la fonction linéaire , mais seulement pour les valeurs de .