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3. Fonctions paires et impaires

Les fonctions paires et impaires sont des fonctions dont la représentation graphique possède une certaine symétrie.

f est une fonction paire si elle satisfait la condition suivante :

f(-x)=f(x)

Géométriquement, cela signifie que le tracé de sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des y.

Il existe plusieurs fonctions de base qui sont des fonctions paires, comme par exemple f(x)=x^2, f(x)=\cos(x) et f(x)=|x|.

Parabole Cosinus Valeur absolue

Exemple : Vérifier que la fonction f(x)=\dfrac{3x^2-x^4}{\cos(x)} est une fonction paire.

Solution Pour que f soit une fonction paire, elle doit satisfaire l'égalité f(-x)=f(x).

Vérifions

\begin{array}{lll}f(-x)&=\dfrac{3(-x)^2-(-x)^4}{\cos(-x)}&\small\text{; on remplace la variable par }-x\\[1em]&=\dfrac{3x^2-x^4}{\cos(x)}&\small\text{; car }(-x)^n=x^n\text{ si }n\text{ est un entier pair}\\[-1em]&&\;\small\text{ et }\cos(-x)=\cos(x)\text{ car cosinus est}\\[-0.5em]&&\;\small\text{ une fonction paire}\\&=f(x)&\end{array}

L'égalité est démontrée.

f est une fonction impaire si elle satisfait la condition suivante :

f(-x)=-f(x)

Géométriquement, cela signifie que le tracé de sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Les fonctions f(x)=x^3 et f(x)=\sin(x) sont des fonctions de base impaires.

Cubique Sinus

Il faut bien réaliser qu'une fonction n'est pas nécessairement paire ou impaire. En effet, il existe une infinité de fonctions qui ne sont ni paires ni impaires, car elles ne vérifient aucune des deux égalités ci-dessus.

Exemples : Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou si elles ne sont ni paires ni impaires.

a) f(x)=\dfrac{x^3-x+1}{x^2+3x}.

Solution Il faut tout d'abord déterminer la valeur de f(-x). Si f(-x)=f(x), la fonction est paire, si f(-x)=-f(x), la fonction est impaire et si on n'obtient aucune des deux égalités précédentes, la fonction n'est ni paire ni impaire.

Vérifions,

\begin{array}{ll}f(-x)&=\dfrac{(-x)^3-(-x)+1}{(-x)^2+3(-x)}\\[0.8em]&=\dfrac{-x^3+x+1}{x^2-3x}\end{array}

Étant donné que f(-x)\neq f(x) puisque \dfrac{-x^3+x+1}{x^2-3x}\neq \dfrac{x^3-x+1}{x^2+3x}, on peut conclure que la fonction n'est pas paire.

De plus f(-x)\neq -f(x) puisque \dfrac{-x^3+x+1}{x^2-3x}\neq \dfrac{-(x^3-x+1)}{x^2+3x}, alors la fonction n'est pas impaire.

Par conséquent, la fonction n'est ni paire ni impaire.

b) f(x)=\dfrac{\sin(6x)}{x^4}.

Solution Tout comme dans la démarche précédente, il faut déterminer la valeur de f(-x).

Calculons,

\begin{array}{lll}f(-x)&=\dfrac{\sin(-6x)}{(-x)^4}&\\[0.8em]&=\dfrac{-\sin(6x)}{x^4}&\small\text{; car sinus est une fonction impaire}\\[-0.5em]&&\;\small\text{ et }(-x)^4=x^4\\&=-\left(\dfrac{\sin(6x)}{x^4}\right)&\small\text{; mise en évidence de -1}\\&=-f(x)&\end{array}

Étant donné que f(-x)=-f(x), alors f est une fonction impaire.

Voici un graphique Geogebra représentant la fonction paire et la fonction impaire des exemples précédents : f(x)=\dfrac{3x^2-x^4}{\cos(x)} et f(x)=\dfrac{\sin(6x)}{x^4}.

déplacezCliquez sur la case fonction paire ou fonction impaire pour voir apparaître la fonction de votre choix. Remarquez la symétrie qui existe dans chacun des graphiques. En déplaçant le curseur a, vous déplacez les points symétriques sur la courbe de la fonction.

  • Sur la fonction paire, pour une valeur de x=a donnée, l'image f(a) et l'image de son opposé f(-a) sont égales.
  • Sur la fonction impaire, pour une valeur de x=a donnée, l'image f(a) et l'image de son opposé f(-a) sont opposées, donc de signe contraire.

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