2.3 Quelques fonctions particulières
- Fonction définie par parties ou par morceaux
- Fonction valeur absolue
- Fonctions paires et impaires
2. Fonction valeur absolue
On peut remarquer que les caractéristiques principales de cette fonction sont:
- La fonction possède un seul zéro en .
- Elle admet un sommet au point .
- Cette fonction n'est jamais négative, donc sur son domaine.
Il est possible de transformer la fonction valeur absolue de base en une fonction valeur absolue définie par
Explorons les caractéristiques de cette fonction à l'aide du graphique Geogebra suivant.
Déplacez les différents curseurs « a », « b », « h » et « k ».
- Le paramètre fait subir à la fonction un déplacement horizontal et le paramètre , un déplacement vertical.
- Le graphique admet pour axe de symétrie la droite . De plus, le sommet de la fonction est le point .
- Le paramètre déforme la fonction en la contractant ou en la dilatant. De plus, si est négatif, la courbe subit une réflexion par rapport à l'axe des .
- Par conséquent, si , le sommet de la fonction est un minimum et si , le sommet est un maximum.
- Le paramètre déforme également la fonction . Par contre, si est négatif, la courbe ne subit aucune réflexion par rapport à l'axe des . Étant donné que est à l'intérieur de la valeur absolue, il n'influence pas le signe de la fonction, c'est-à-dire que .
Exemple : Étudions la fonction , où , , et . Par simplification, on peut voir que cette fonction a également pour équation :
Le graphique est ouvert vers le haut, car .
De plus, le sommet de la fonction est un minimum avec des coordonnées de .
Pour déterminer les zéros de , il faut résoudre l'équation . En utilisant la démarche de résolution d'équations vue dans cette à la section 1.4, on doit résoudre :
Finalement, on peut déterminer le signe de la fonction à l'aide du graphique. On a que est positive sur l'intervalle et est négative sur l'intervalle .
Il est aussi intéressant d'étudier les graphiques des fonctions composées de la forme
où est une fonction quadratique.
Le graphique d'une telle fonction n'a plus la forme habituelle d'un « V », car il dépend de la fonction qui est à l'intérieur de la valeur absolue. Par contre, la fonction reste quand même positive sur l'ensemble de son domaine.
Exemple : Traçons le graphique de la fonction .
Étant donné que prend toujours des valeurs positives ou nulles, il faut déterminer les valeurs de qui rendent négatif le polynôme à l'intérieur de la valeur absolue. Ainsi, on va étudier le signe du polynôme .
En factorisant, on obtient . Les zéros sont donc et . Construisons un tableau de signes.
Par conséquent,
Nous pouvons donc réécrire l'équation de la fonction à partir de la définition de la fonction valeur absolue de la façon suivante :
Nous pouvons maintenant traçer ces deux paraboles dans leur intervalle de définition. Sur le graphique de gauche, est représentée par la parabole en rouge et par la parabole en bleu. Par conséquent, en prenant seulement le tracé de ces courbes qui se situe au-dessus de l'axe des (positif), on obtient le graphique de la fonction illustré à droite.